2013—2014学年第二学期第三次月考

高 二 数学（理）试 题

全卷满分150分，考试时间120分钟 ，命题人：王艳红

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设复数
，则的虚部为 （　 ）

A.
B. C.
D.

2.若
，

，则，
的大小关系为(　 )

A．
B．
C．
D．由的取值确定

3．平面经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是 (　　)

A.
B．
C．
D．

4.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点．因为
在
处的导数值
，所以
是函数
的极值点．以上推理中　 (　　)

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确

5．已知
是复数的共轭复数,
=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

6．如图所示，已知四面体OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，

则cos〈
，
〉的值为 (　　)

A．0 B. C. D.

7．用数学归纳法证明“
时，从 “
到
”时，左边应增添的式子是 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.把曲线
：
（
为参数）上各点的横坐标压缩为原来的
，纵坐标压缩为原来的
，得到的曲线
为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.下列积分值等于1的是（　　）

A.
　　 B.
　 C.
　 D.

10.给出下列四个命题：①
是增函数，无极值.②
在
上没有最大值③由曲线
所围成图形的面积是
④ 函数
存在与直线
平行的切线，则实数的取值范围是
其中正确命题的个数为（　　）

A.1　　　　　 　B.2　　　　　　 C.3　　　　　　　 D.4　

11．已知函数
=
，
=
，若至少存在一个
∈[1，e]，使得
成立，则实数a的范围为

A．[1，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(1，+∞)

12．已知点列如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，则
的坐标为(　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则

14. 在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则
＝__ (用a，b，c表示)．

15．已知两曲线参数方程分别为
和
，它们的交点坐标为_____.

16．已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC的距离为
, 则球O的表面积为

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
，(
为参数，
).以
为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.

写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆
上的点到直线
的最大距离为3.

18. （本小题满分12分）

已知为实数，
.

(Ⅰ)若
，求
在
上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若
在
和
上都是递增的，求的取值范围.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，在(PAD中+=2，且AD=2PE

(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅱ)如果AB=BC,
=60o，求DC与平面PBE的正弦值

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
＝
（a＞0），过点
的直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若
，求a的值．

21. （本小题满分12分）

如图，平面
平面
，四边形
为矩形，
．点
为
的中点，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若二面角
的余弦值为
时，求
的值．

22.（本小题满分12分）

已知定义在
上的三个函数
，
，
，且
在
处取得极值．

（Ⅰ）求a的值及函数
的单调区间.

（Ⅱ）求证：当
时，恒有
成立.

高 二 数学参考答案

一、 选择题： CCDAA， ACBDB， BD.

二、填空题： 3；
；
；28

三、解答题：

17.（本小题满分10分）

解析：由已知圆心O的直角坐标为
，
，点O在第三象限，故
，所以圆心O的极坐标为
………………4分

直线l的直角坐标方程为
，圆心O到l的距离
，圆O上的点到直线l的距离的最大值为
解得
…………….10分

18. （本小题满分12分）

解析：（1）
………………..2分

时，
或
，
在
上单调递增，在
上上单调递减，在
上单调递增

所以
在
上的最大值为
，最小值为
……………….6分

（2）
的图象为过
，开口向上的抛物线由题
且
解得
……………….12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以CD⊥PA，

因为在(PAD中，+=2，且AD=2PE

所以PD⊥PA ，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD，∵PA(平面PAB

所以平面PAB⊥平面PCD…………………………4分

（2）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-XYZ，

设AB=4, 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0)

在Rt(APD中AD=4, (PAD=60o,∴P(0,1,) ………6分

∴=(-4,1,),=(-4,2,0)

设平面PBE的一个法向量为=(x,y,z)

由，得. 令y=2得x=1,z=,∴ =(1,2, )………10分

而=(4,0,0),∴cos<,>=  = 

∴DC与平面PBE的正弦值为……………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ） 由
得
,

∴曲线
的直角坐标方程为
.………………………………2分

直线
的普通方程为
.………………………………4分

（Ⅱ）将直线
的参数方程代入曲线
的直角坐标方程
中，

得
,

设
两点对应的参数分别为
,

则有
.………………………………6分

∵
,∴
, 即
.………………9分

∴
.

解之得：
或
(舍去),∴的值为.……………………………12分

21. （本小题满分12分）

22.（本小题满分12分）

解析：解：（Ⅰ）
，
，
，

∴
………………………………2分

而
，
，令
得
；令
得
．∴函数
单调递增区间是
；单调递减区间是
…………4分

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
，

欲证
，只需要证明
，即证明
……6分

记
，∴
，……………………8分

当
时，
，∴
在
上是增函数，

∴
，∴
，即
，

∴
，故结论成立．……………………12分