昆明市2015届高二下学期期末八校联考

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数
的虚部为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设全集
，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）对于函数
，下列命题正确的是

（A）
的周期为
，且在
上单调递增 （B）
的周期为
，且在
上单调递减

（C）
的周期为
，且在
上单调递增 （D）
的周期为
，且在
上单调递减

(4)执行如下程序，输出
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）若抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）
是周期为
的奇函数，当
时，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知
、
满足约束条件
，则目标函数

A．最大值为
B．最大值为
C．最大值为
D．以上都不对

（8）现有五名实习大学生分到四个班实习，每班至少分配一名，则不同分法的种数为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）函数
的最大值为
，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）已知三棱柱
侧棱与底面垂直，且其六个顶点都在球
的球面上，若
，
，

，球
的半径为
，则
与平面
所成的角的余弦值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知圆

经过点
，且圆
被
、
轴截得的弦长之比为
︰
，则
和
的值分别是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）数列
的前
项的和
，则
．

（14）已知
是单位向量，

，则
夹角为 ．

（15）已知
是曲线
与
围成的区域，若向区域
内随机投

一点
，则点
落入区域
的概率为___________.

（16）函数
的零点个数是_______.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)
，
，求
.

（18）（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若
(
)，求数列
的前
项和
.

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两名运动员在
次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示.

（Ⅰ）分别计算甲、乙两名运动员训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，为什么？

（Ⅱ）从甲、乙两名运动的训练成绩中各随机抽取
次的得分，分别记为
，设
求
的分布列和数学期望.

（20）（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）点
是线段
上的一个动点，二面角
的大小是否可以为
？若可以，求出线段
的长.

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，短半轴长为
，离心率
，左、右焦点分别为
、
.

(Ⅰ)求该椭圆的方程；

(Ⅱ)过
作直线
交椭圆于
、
两点（直线
不过原点
），若椭圆上存在点
，使得四边形
为平行四边形，求直线
的方程.

（22）（本小题满分12分）

已知函数
＝
．

(Ⅰ) 求函数
的单调区间；

（Ⅱ）证明：曲线
与
=
没有公共点；

(Ⅲ)设
,
为曲线
上的两点，且
，若曲线
)在点
、
处的切线重合，求实数
的取值范围．

昆明市2015届高二下学期期末八校联考

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）B (4) C （5）D （6）A

（7）B （8）D （9）B （10）A （11）C （12）A

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
（14）
（15）
（16）

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）解：(Ⅰ)由已知得
，………………………………………1分

∴
，……………………………………………………………………………2分

∵
,∴
.……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由余弦定理得
，∴
，即
，

∴
，∵
，∴
.…………………………………………………10分

（18）解：

（Ⅰ）设
的首项为
，公差为
，则由
，
得
…2分

解得
…………………………………………………………………………………4分

所以
的通项公式
……………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
得
.…………………………………………………7分

①当
时，

.

…………………………………………………………………9分

②当
时，
，得

，………………………………………………10分

所以数列
的前
项和
.……………………12分

（19）

解：

（Ⅰ）
，
；……2分

，
…4分

，说明乙的平均水平比甲高，乙的训练成绩比甲稳定，∴乙的训练成绩更好些. ……………………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）
，
，
，
，
，
，…………………………………………………………………8分

∴
的分布列为：































…………………………………………………………………………………10分

…………………………12分

（20）

解：

（Ⅰ）∵
底面
，∴
.……………………………………………2分

在直角梯形
中，
，
，∴
，
，在
中，由勾股定理的逆定理知，
是直角三角形，且
.……………………………………………………………………………………………4分

∵
，
，
，∴
平面
.………………………5分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.

、
、
、
、
.………………………………6分

平面
的一个法向量为
.………………………………………………………7分

设

，则
，
，
，设平面
的一个法向量为
，则
，
，∴取
.…………………9分

，
，……………………………………………………………10分

.……………………………………………………………………………12分

（21）

解：

(Ⅰ)设所求椭圆的标准方程为
，短半轴长为
，离心率
，则
，……………………………………………………………………………………3分

解得：
，因此所求椭圆的方程为:
．………………6分

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知
、
，由题意知直线