绝密★启用前

命题人:张新依

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔．

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.是虚数单位，则复数
的虚部等于

A．1 B．－1 C． D．-

2.若曲线
在点
处的切线方程是
，则

A．
B．
C．
D．

3.设随机变量
服从正态分布
，若

A．
B．
C．
D．

4．函数
的大致图像是

5．韩国世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性

建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画

作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有

A．96种 B．72种 C．48种 D．24种

6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　)

①(＋)＋；②(＋)＋；

③(＋)＋；④(＋)＋.

A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③④

7．用数学归纳法证明不等式“
”时的过程中，由
到

时，不等式的左边

A．A.增加了一项

B．增加了两项

C．增加了两项
，又减少了
；

D．增加了一项
，又减少了一项
；

8.将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率

A．
B．
C．
D．

9.设函数
则导函数
的展开式中
项的系数为

A．
B．
C．
D．

10.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点），落在水平桌面后，记正面

朝上的点数分别为
，设事件A为“
为偶数”，事件B为“
中有偶数

且
”，则概率
=

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．已知
，则
的展开式中x的系数为 ▲ ．(用数字作答)

12．
个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有 ▲ 种．

13．如图所示，在边长为1的正方形
中任取一点，则点恰好

取自阴影部分的概率为 ▲ ．

14. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线

与AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ▲ ．

15. 在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为
，

外接圆面积为
，则
.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为
，外接球体积为
，则
= ▲ ．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分
分）

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，

有不同站法多少种？

（Ⅰ）两名女生必须相邻而站；

（Ⅱ）4名男生互不相邻；

(Ⅲ) 老师不站中间，女生不站两端．

17．（本小题满分
分）

某校举行运动会，组委会招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志

愿者中分别有10 人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（Ⅰ）根据以上数据完成以下
列联表：

（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为性别与喜爱运动有关？

(Ⅲ)从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各选1人，求其中不喜爱运动的女

生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取的概率．

参考公式 ：
（其中
）











是否有关联

没有关联

90%

95%

99%





18．（本小题满分
分）

己知斜三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，侧面
为菱形，
，平面
平面ABC，N是
的中点．

（Ⅰ）求证：
BN；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分
分）

在数列
中，
，且前项的算术平均数
等于第项的
倍

．

（Ⅰ）写出此数列的前
项；

（Ⅱ）归纳猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．

20．（本小题满分
分）

某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四

项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
，参加第五项不合格的概率为

（Ⅰ）求该生被录取的概率；

（Ⅱ）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．

21．（本小题满分
分）

已知
．
.

（Ⅰ）求函数
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）对一切实数
，
恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 证明对一切
，
恒成立．

高二年级第二学期第二次阶段检测

理科数学参考答案

二、填空题：

11．150 12．72 13.
14.
15.

三、解答题：

16.解：(1)两名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法．故有不同站法 A·A＝1 440种． ………………4分

(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种．故共有不同站法A·A＝144种． ……………8分

(3)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有
种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有
种站法．故共有不同站法2 112种． …………12分

17．解：（1）由已知得：

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

6

16



女

6

8

14



总计

16

14

30



（2）由已知得：
，则：

则：性别与喜爱运动没有关联. ……………………8分

（3）记不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取为事件A，由已知得：从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各抽取1人共有
种方法，其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙没有一人被选取的共有
种方法，则：
…………………12分

18．取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………2分

则
,
,
，
,
，

.
……………………4分

因为
，

所以
……………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………7分

则
,
,
，
,
,

.

设平面
的法向量为
，则
即

令
.所以
. …………………………………………9分

又平面
的法向量
…………………………………10分

设二面角
的平面角为
，则
.……………12分

19.解：（1）由已知
，

，分别取
，得

，
，

，
；

所以数列的前5项是：
，
，
，
，
；……4分

（2）由（1）中的分析可以猜想
．…………………………6分

下面用数学归纳法证明：

①当
时，猜想显然成立． ……………………………7分

②假设当
时猜想成立，即
．………………………8分

那么由已知，得
，

即
．所以
，

即
，（本过程利用
求出
亦可）

又由归纳假设，得
，所以
，

即当
时，公式也成立．…………………………………………………11分

由①和②知，对一切
，都有
成立．………………12分

20.解：（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格.

记A={前四项均合格}

B={前四项中仅有一项不合格}

则
…………………………………………………………2分

………………………………………………4分

又A、B互斥，故所求概率为

………………………………………………………6分

（2）该生参加考试的项数
可以是2，3，4，5.

，

…………………………………11分

2

3

4

5















………………12分

……………………13分

21.解：⑴
，当
，
，
单调递减，

当
，
，
单调递增．………………………………………1分

①
，t无解；………………………………………………2分

②
，即
时，
………………………3分

③
，即
时，
在
上单调递增，
；

所以
………………………………………………………5分