汶上一中2013—2014学年高二5月质量检测

数学（理）

一、选择题（本题共12小题，每题5分，请将试题答案填在相应的答题卡上。）

1．设为虚数单位，若复数
为纯虚数，则实数的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．函数
＝log2(3x－1)的定义域为 (　 )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

3．函数
的值域是 （ ） ( 　)

A．(0，＋∞)　 　　B．(0,1) C．(0,1] D．[1，＋∞)

4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率 (　 )

A． B． C．. D．

5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是 (　 　)

A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200

C.＝－10x－200 D.＝10x－200

6．设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若A
B=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（ ）

A．7个 B．8个 C．27个 D．28个

7.若x、y满足约束条件
，则z=x+2y的取值范围（ 　）

A．[2,6]　B。[2,5]　C。[3,6]　D。（3,5]

8.设
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

9将函数
的图象向右平移个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的
倍,所得图象关于直线
对称,则的最小正值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.若对可导函数
，
当
时恒有
，若已知
是一锐角三角形的两个内角，且
，记
则下列不等式正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

11．已知椭圆C：
的离心率为
．双曲线
的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 当
时，函数
的图象大致是（ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）

已知函数
在
时取得最小值，
________。

13．若
，则a0+a2+a4+a6+a8的值为　 ．

14. 若双曲线
的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线
的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．

15．函数
的导函数为
，若对于定义域内任意
，

，有
恒成立，则称
为恒均变函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分l0分）

已知命题p：“任意的x∈[1,2]，x2－a≥0”；

命题q：“存在x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题。

求实数a的取值范围．

18.（本小题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，点为
的中点.

（1）求证：
∥平面
；（2）求证：

；

（3）在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分l2分）

已知函数
（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数
的值域。.

21. （本小题满分l2分）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，

以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为
，且各局胜负相互独立.求：

（1）打满3局比赛还未停止的概率；

（2）比赛停止时已打局数
的分别列与期望E
.

参考答案：

1-5 DACBA 6-10 CAABC 11-12 DB

13.36 14. 128 15.
16. ①②

17．解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．

若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.

若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.

综上可知实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.

18 .设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C． 则
．

（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是
．

（2）由题意得该顾客可转动转盘2次．随机变量
的可能值为0，30，60，90，120．

所以，随机变量
的分布列为：

0

30

60

90

120



















其数学期望
．

19. （1)连结
交
于，连结
,因为四边形
为正方形，所以为
的中点，又点为
的中点，在
中，有中位线定理有
//
，而
平面
，
平面
，

所以，
//平面
.

（2）因为正方形
与矩形
所在平面互相垂直，所以
，
，

而
，所以
平面
，又
平面
，所以
.

（3）存在满足条件的
.

依题意，以为坐标原点，
、
、
分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为
，则
，
，，
，
，所
，

易知
为平面
的法向量，设
，所以
平面
的法向量为
，所以
，即
，所以
，取
，

则
，又二面角
的大小为
，

所以
，解得
.

故在线段
上是存在点
，使二面角
的大小为
，且
.

20. （1）将x1=3, x2=4代人方程f(x)－x+12=0得

得
，∴

（2）令
，则
，
，∴

∵
在
递增，
递减；
递减，
递增

∴函数
的值域为

21. 令
分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

（2）
的所有可能值为2，3，4，5，6，且
　

　

　

　

2

3

4

5

6



P













　故有分布列　

从而
（局）.

22.（1）由
，得
.

因为曲线
在
处的切线与轴平行，

所以
，因此
.

所以
，

当
时，
，
，
；当
时，
，
，
.

所以
的单调增区间是
，单调递减区间是
.

（2）证明：因为
，所以
.

因此，对任意
，
等价于
.

令
，则
.

因此，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.

所以
的最大值为
，故
.

设
.因为
，所以当
时，
，
单调递增，
，故当
时，
，即
.

所以
.因此对任意
，
.