昆明市2015届高二下学期期末八校联考

文科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数
的虚部为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设全集
，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）对于函数
，下列命题正确的是

（A）
是周期为
的偶函数 （B）
是周期为
的偶函数

（C）
是周期为
的奇函数 （D）
是周期为
的奇函数

(4)函数
的定义域是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）抛物线
的准线方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

(6)执行如下程序，输出
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知
，
是单位向量，且
与
夹角为
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知
、
满足约束条件
，则目标函数

A．最大值为
B．最大值为
C．最大值为
D．以上都不对

（9）
是周期为
的奇函数，当
时，
，

则

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

(11) 直线
与圆
相切，则圆的半径最大时，
的值是

（A）
（B）
（C）
（D）
可为任意非零实数

（12）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
、
分别是
、
的中点，且三棱柱的六个

顶点都在球
的球面上，若
，
，球
的半径为
，则异面直线
与
所成的角为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）数列
的前
项的和
，则
．

（14）已知
，
是曲线
与
围成的区域，若向区

域
内随机投一点
，则点
落入区域
的概率为___________.

（15）函数
的最大值为
，则
的最小值为 ．

（16）函数
的零点的个数是_______．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)
，
，求
.

（18）（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两名运动员在
次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示.

（Ⅰ）分别计算甲、乙训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，为什么？

（Ⅱ）从甲、乙两名运动的训练成绩中各随机抽取
次的得分，分别记为
，设
，分别求出
取得最大值和最小值时的概率.

（20）（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且
，求三棱锥
的体积.

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，短半轴长为
，离心率
，左、右焦点分别为
、
.

(Ⅰ)求该椭圆的方程；

(Ⅱ)过
作直线
交椭圆于
、
两点（直线
不过原点
），若
，求直线
的方程.

（22）（本小题满分12分）

已知函数
＝
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，证明：曲线
与
=
仅有一个公共点；

（Ⅲ）设
,

为曲线
上的两点，且曲线
在点
,
处的切线互相垂直，求
的最小值．

昆明市2015届高二下学期期末八校联考

文科数学答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）D （3）A (4)B （5）C （6）D

（7）C （8）B （9）A （10）B (11) C （12）A

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
（14）
（15）
（16）

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
.(Ⅰ)求角
的大小；(Ⅱ)
，
，求
.

解：(Ⅰ)由已知得
，…………………………………………………………1分

∴
，………………………………………………………………………………2分

∵
,∴
.………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由余弦定理得
，∴
，即
，∴
，∵
，∴
.…………………………………………………………10分

（18）（本小题满分12分）已知等差数列
满足：
，
.（Ⅰ）求
的通项公式；（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

解：

（Ⅰ）设
的首项为
，公差为
，则由
，
得
2分

解得
……………………………………………………………………………………4分

所以
的通项公式
……………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
得
，…………………………………………………8分

……………………………10分

.………………………………………………………………………12分

（19）（本小题满分12分）甲、乙两名运动员在
次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示.（Ⅰ）分别计算甲、乙训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，为什么？（Ⅱ）从甲、乙两名运动的训练成绩中各随机抽取
次的得分，分别记为
，设
，分别求出
取得最大值和最小值时的概率.

解：

（Ⅰ）
，
；…2分

，
…4分

，说明乙的平均水平比甲高，乙的训练成绩比甲稳定，∴乙的训练成绩更好些. ……………………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
的可能取值为
，
的可能取值为
，……………………8分

∴
取得最大值时的概率为
,……………………………………10分

取得最小值时的概率为
.…………………………………………12分

（20）（本小题满分12分）在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
.（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）若点
在线段
上，且
，求三棱锥
的体积.

解：

（Ⅰ）在直角梯形
中，
，
，∴
，
，在
中，由勾股定理的逆定理知，
是直角三角形，且
，………………………………………………………………………………………2分

又
底面
，∴
，………………………………………………………4分

∵
，
，
，∴
平面
.………………………6分

（Ⅱ）
，……………………………………………………………………8分

∵
，∴
，……………………………………………………10分

∴
.……………………………………………………12分

（21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，短半轴长为
，离心率
，左、右焦点分别为
、
. (Ⅰ)求该椭圆的方程；(Ⅱ)过
作直线
交椭圆于
、
两点（直线