汶上一中2013—2014学年高二5月质量检测

数学（文）

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）

1．若复数z满足
（i是虚数单位），则z ＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则集合
= ( )

A．
B．
C．
D．

3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的 ( 　 )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数
的图象一定过点 （ ）

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．

5．点
在圆
的（ ）．

A．内部 B．外部 C．圆上 D．与θ的值有关

6.函数
在点
处的切线方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.函数
有极值的充要条件是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.双曲线
的虚轴长等于( )

A.
B．-2t C．
D．4

9．设
，则
的最小值为（ ）．

A．
B． C．
D．

10．点
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值为（ ）．

A．
B．
C．
D．

11.已知函数
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

12.斜率为的直线
过双曲线
的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）

13．已知
，
，则
。

14．函数
在
恒为正，则实数的范围是 。

15．函数
的值域为 。

16．关于函数
，有下列命题

①由
，可得
必是的整数倍；

②
的表达式可改写成
；

③
的图象关于点
对称；

④
的图象关于直线
对称。其中正确命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

(1) 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求证：<a.

(2) f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

18.（本小题满分12分）

设函数
图象的一条对称轴是直线
.

（1）求；

（2）求f(x)的最小正周期、单调增区间及对称中心。

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是
。已知

（1）求角C的大小；

（2）若
，求△ABC外接圆半径。

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
。

(1) 求
在点
处的切线方程；

(2) 证明: 曲线
与曲线
有唯一公共点；

(3) 设
，比较
与
的大小, 并说明理由.

22. （本小题满分12分）

已知函数
的减区间是（-2，2）

（1）试求m,n的值；

（2）求过点
且与曲线
相切的切线方程；

（3）过点A(1,t)，是否存在与曲线
相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。

参考答案：

1-5 ABABA 6-10 CBCAD 11-12 AD

13．
； 14．
； 15．
； 16．②③

17. (1)证明证明：要证<a，只需证b2－ac<3a2.

∵ a＋b＋c＝0，∴ 只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，

只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.

∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴ (a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立

（2）　f(0)＋f(1)＝＋

＝＋＝＋＝，

同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.

由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.

证明：f(x)＋f(1－x)＝＋

＝＋＝＋＝＝.

18．（1）由条件知：

∵
，∴

（2）f(x)的最小正周期为
，由

得递增区间为
；对称中心为

19．（1）∵
即

由
，∴
,即

∵
，得
即
，所以

（2）由
得
得

∴
∴
。

20.　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，

所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，

得＝1，即b＝1.

所以a2＝b2＋c2＝2.

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.

整理，得2k2－m2＋1＝0， ①

由消y，得

k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

∵直线l与抛物线C2相切，

∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1， ②

联立①、②，得或

∴l的方程为y＝x＋或y＝－x－.

21. (1)
，则
，

点
处的切线方程为：
,

(2) 令
，
，则
，
，且
，
，

因此，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.

所以
，所以
在上单调递增，又
，即函数
有唯一零点
，

所以曲线
与曲线
有唯一公共点
.

22.⑴m=1，n=0．

⑵ ∵
，∴
，∵

当A为切点时，切线的斜率
，

∴切线为
，即
；

当A不为切点时，设切点为
，这时切线的斜率是
，

切线方程为
，即

因为过点A（1，-11），
，

∴

，

∴
或
，而
为A点，即另一个切点为
，

∴
，

切线方程为
，即

所以，过点
的切线为
或
．

⑶ 存在满足条件的三条切线．

设点
是曲线
的切点，

则在P点处的切线的方程为
即

因为其过点A（1，t），所以，
，

由于有三条切线，所以方程应有3个实根，

设
，只要使曲线有3个零点即可．

设
=0， ∴
分别为
的极值点，

当
时
，
在
和
上单增，

当
时
，
在
上单减，

所以，
为极大值点，
为极小值点.

所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当
即
，

解得
.