济宁二中2013—2014学年高二下学期期中检测

数学（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.复数满足
，则复数的实部与虚部之差为 （ ）

A．
B． C． D．

2.已知|x-a|

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知离散型随机变量
的分布列为

1

2

3













则
的数学期望
(　　)

A.
B. C .
D.

4．若函数
在区间
内是增函数，则实数的取值范围是 （　　）

A.
B.
C .
D.

5．函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图像如图所示，则函数
在开区间
内有极小值点 （ ）

A．1个 B．个

C．
个 D．个

6．函数
处的切线方程是( ) A．
B．
C．
D．

7．若
则
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
在区间
上的最大值和最小值分别为 (　　)

A.
B.
C.
D.

9.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )

10.给出命题：若
是正常数，且
，
，则
(当且仅当
时等号成立). 根据上面命题，可以得到函数
（
）的最小值及取最小值时的x值分别为( )

A．11+6
，
B．11+6
，
C．25，

11.设
，则
（ ）

A.
B.
C .
D.

12.已知可导函数
为定义域上的奇函数，
当
时，有
，则
的取值范围为 （　　）

A.
B.
C .
D.

二.填空题（每小题5分，共4题，20分）

13.设复数
为实数时,则实数的值是_________，

14. 已知函数y＝
在区间
上为减函数, 则的取值范围是_____,

15.若
在R上可导,
,则
____________.

16. 设函数
，（、
、是两两不等的常数），

则
.

三．解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案过程写在答题卡上）。

17. （本小题满分10分）

已知函数
在
处取得极值，求函数
以及
的极大值和极小值.

18.（本小题满分12分）

为坐标原点，已知向量
,
分别对应复数z1 , z2 , 且z1=
z2=
(aR),
+z2 可以与任意实数比较大小，求
的值。

19. （本小题满分12分）

设函数
.

（1）若
在
时有极值，求实数的值和
的极大值；

（2）若
在定义域上是增函数,求实数的取值范围．

20.（本小题满分12分）

已知
，（ a为常数，e为自然对数的底）．

（1）

（2）

时取得极小值，试确定a的取值范围；

（3）在（Ⅱ）的条件下，设
的极大值构成的函数
，将a换元为x，试判断
是否能与
（m为确定的常数）相切，并说明理由．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.

(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a<0，求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)＝x3＋x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，求证：
．

参考答案：

1-5 DCAAA 6-10 DBADD 11-12 CB

13. 3 , 14.
, 15. -18 , 16.0 .

17.

依题意，
，

即

∴
，

令
，得x=-1或x=1，

当x变化时，
与
的变化情况如下表：







1

(1，+∞)





+

0

—

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



∴
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
.

18. 由题意知
+z2 为实数，
，

得
+z2 =

的虚部为0， a2+2a-15=0 , 解得a=- 5 或a= 3 ；又分母不能为0， a= 3 ，此时，z1 =
+ i , z2 = - 1 + i ,

= (
，1）
= （- 1 , 1 ) ,
=

19.(1)∵
在
时有极值，∴有

又
∴
， ∴

∴有

由
得
，

又
∴由
得
或

由
得

∴
在区间
和
上递增，在区间
上递减

∴
的极大值为

（2）若
在定义域上是增函数，则
在
时恒成立

，

需
时
恒成立，

化
为
恒成立，

，

为所求。

20. 解（1）当
时，
．
．

所以
．

（2）

．

令
，得
或
．

当
，即
时，

恒成立，

此时
在区间
上单调递减，没有极小值；

当
，即
时，

若
，则
．若
，则
．

所以
是函数
的极小值点．当
，即
时，

若
，则
．若
，则
．

此时
是函数
的极大值点．

综上所述，使函数
在
时取得极小值的的取值范围是
．

（3）由（Ⅱ）知当
，且
时，
，

因此
是
的极大值点，极大值为
．

所以
．
．

令
．

则
恒成立，即
在区间
上是增函数．

所以当
时，
，即恒有
．

又直线
的斜率为
，

所以曲线
不能与直线
相切．

21. (1)a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，

所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.

又因为f(1)＝e，

所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex＝[ax2＋(2a＋1)x]ex，

①若－－时，f′(x)<0；

当00.

所以f(x)的单调递减区间为 (－∞，0]，[－，＋∞)；单调递增区间为[0，－]．

②若a＝－，则f′(x)＝－x2ex≤0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．

③若a<－，当x<－或x>0时，f′ (x)<0；

当－0.

22. （1）

得0

∴
在
上递减，在
上递增.

（2）∵函数
在
处取得极值，∴
，

∴
，

令
，可得
在
上递减，在
上递增，

∴
，即
．

（3）证明：
，

令
，则只要证明
在
上单调递增，

又∵
，

显然函数
在
上单调递增．

∴
，即
，

∴
在
上单调递增，即
，

∴当
时，有
．