一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）

1. 若复数
（为虚数单位）是纯虚数，则实数
( )

A.
B.
C. 0 D. 1

2. 将5个不同的小球放入二个不同的抽屉里，不同的放法种数 （ ）

A.
B.
C.25 D.52

3. 函数
的单调减区间是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，若事件A=
, 事件B=
，则P（B
= ( )

A.
B.
C.
D.

5．
的展开式中
的项的系数是 （ ）

A.
B．
C．
D．

6.设函数
，其中
，
，则
的展开式中
的系数为 ( )

A．
B.
C.
D.

7.由数字
所组成没有重复数字的四位数中
与
相邻的奇数有（ ）

A.14个 B. 15个 C. 16个 D. 17个

8. 在一次抗洪抢险中，用射击方法引爆从上游漂流而下一巨大汽油罐。已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功。每次射击命中概率都是
，每次命中与否互相独立，则油罐被引爆的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9. 若函数
的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，则
的展开式中常数项为 ( )

A.
B.
C.
D.

10. 将一个两位数的两个数字左右顺序颠倒（要求颠倒后仍是一个两位数），将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数。在所有的两位数中，奇和数的个数为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在横线上）

11. 用反证法证明“自然数
中恰有一个偶数”时假设应为 .

12. 若
则自然数
_____.

13. 若函数
，则曲线
在点（
）处的切线方程为

14．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是_________.

15．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：

对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；

对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．

现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!； ②2006!!=21003·1003!；

③2006!!的个位数是0； ④2005!!的个位数是5．

其中正确的命题是 .

三、解答题：(本大题6小题，共75分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.已知复数
(∈R),

试求实数分别取什么值时，分别为：（1）实数； （2）纯虚数.

17．已知数列{an}满足

(1) 写出
并推测
的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

18．已知
的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求展开式中的有理项； （2）求展开式中系数最大的项．

19.已知

（1）求
的值（用代数式表示）； (2) 求
的值；

（3）求
的值

20.作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能 6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为
，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：

红灯

1

2

3

4

5



等待时间（秒）

60

60

90

30

90



(1)设学校规定7：20后（含7：20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；

（2）设
表示该学生上学途中遇到的红灯数，求
的值；(3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望．

21．已知函数

（1）若
在
处有极值，试问是否存在实数，使得不等式
对任意
及
恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)若
，设

① 求证：
；

② 设
,求证：

(所有答案写在答题卡上)



（1）求展开式中的有理项； （2）求展开式中系数最大的项．

（2）设
表示该学生上学途中遇到的红灯数，求
的值；

































=

21．已知函数

（1）若
在
处有极值，试问是否存在实数，使得不等式
对任意
及
恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)若
，设
①求证：
；

②设
,求证：

解：（1）因为
，所以
．

由
，可得
，
．

经检验
时，函数
在
处取得极值，所以
．