2013—2014学年度第二学期期中考试

高二数学（理科）试题参考答案

所以z＝4－2i. ……………………………8分

所以(z＋ai)2＝ (12＋4a－a2)＋8(a－2)i，……………………………10分

由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，

所以解得2

故实数a的取值范围是(2,6)．……………………………14分

16．解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，……………3分

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，……………………5分

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C727＝3 432. ……………………………7分

(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．…………………10分

设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，……………………………12分

∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11， T11＝C·2·210·x10＝16896x10. ……………………………14分

17．解　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.……………………………2分

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，

于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………………………4分

(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……………………14分

18．解 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C×C×C＝64(种)，……………………………4分

若2张同色，则有C×C×C×C＝144(种)；……………………………8分

若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192(种)，……10分

剩余2张同色，则有C×C×C＝72(种)，……………………………12分

所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．……………………………16分

19．(1)解　当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.……………………………3分

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，…………………6分

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.……………………8分

(2)证明　反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，……………………………10分

则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①……………………………12分

又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，……………………………14分

所以假设不成立，原命题得证．……………………………16分

20．解　(1)∵an＝2n，则有an＋1＝an＋2，n∈N*.

∴数列{an}是“优美数列”，对应的p、q值分别为1、2；……………………………3分

∵bn＝3·2n，则有bn＋1＝2bn，n∈N*.

∴数列{bn}是“优美数列”，对应的p、q值分别为2、0. ……………………………6分

(2)∵数列{an}是“优美数列”，∴存在实常数p、q，