2013—2014学年度第二学期期中考试

高二数学（文科）试题参考答案

15．解　设z＝x＋yi(x、y∈R)，所以z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.……3分

因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，……6分

所以z＝4－2i. ……………………………8分

所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，……………………………10分

由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，

所以解得2

故实数a的取值范围是(2,6)．……………………………14分

16．解：对
，
，（
），所以要使
恒成立，应有
……………………………4分

，直线
恒过定点（0，2），要使直线
与椭圆
有公共点，应有
，解得
……………………………8分

若
为真命题，则与都为真命题，因此
所以
……………12分

综上，存在
使得
为真命题．……………………………14分

17．证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，……………………………2分

an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，……………………………5分

即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2·，

故是以2为公比的等比数列．……………………………7分

18．解　①若m<0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而≤|m|，……………………………3分

解得≤m≤，与m<0矛盾；……………………………6分

②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；……………………………8分

③若m>0，则当≤m2，即m≥时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，……………………………10分

从而有≤|m|或≤|m|，……………………………12分

解得≤m≤2＋，由于>，所以≤m≤2＋.……………………………14分

综上所述，m的取值范围是.……………………………16分

19．(1)解　当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. ……………………………3分

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，…………………6分

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.……………………8分

(2)证明　反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，……………………………10分

则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①……………………………12分

又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，……………………………14分

所以假设不成立，原命题得证．……………………………16分

20．解　(1)∵an＝2n，则有an＋1＝an＋2，n∈N*.

∴数列{an}是“优美数列”，对应的p、q值分别为1、2；……………………………3分

∵bn＝3·2n，则有bn＋1＝2bn，n∈N*.

∴数列{bn}是“优美数列”，对应的p、q值分别为2、0. ……………………………6分