四校联考2013—2014学年度第二学期期中考试

高二年级数学科理科试卷

第Ⅰ部分 选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确。请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。）

1．复数
= （ ）

A．
B．
C．0 D．

2.一个物体的运动方程为
其中的单位是米,的单位是秒,那么物体，在
秒末的瞬时速度是（ ）米/秒

A．2 B．4 C.6 D.8

3. 函数
单调递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.函数
在点
处的切线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5．在用数学归纳法证明
时，则当
时左端应在
的基础上加上的项是（ ）

A．
B．

C．
D．
.

6.
等于（ ）

A． B． C．
D．

7.一质点运动的速度与时间关系为
，质点作直线运动，则此质点在时间

［1，2］内的位移是 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知
，观察下列各式：
，
，
，．．．，类比有
(
),则
( )

A． B．
C．
D．

9．已知某生产厂家的年利润 (单位：万元)与年产量 (单位：万件)的函数关系式为
，则使该生产厂家获得最大利润的年产量为( )

A.7万件 B.9万件 C.11万件 D.13万件

10. 对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应的位置上。）

11.若

是纯虚数，则实数的值为_______

12.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第7个等式为 。

13、如右图，是定义域为R的函数
的图象，
是函数
的导函数，则不等式
的解集为

14.已知函数
是定义在R上的奇函数，且
时，函数取极值

1;若对任意的
，均有
成立，则s的最小值为__________

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（本小题12分）

已知复数
，试求为何值时，

（1）为实数？ （2）所对应的点落在第三象限？

16.(本小题满分12分)

已知函数
．

（1）若
在
处有极值，求的值；

（2）在（1）的条件下，求
在区间
上的最大值.

17．（本小题14分）

设
，方程
有两个相等的实根，且
。

求
的表达式；

求函数
的图像与直线x+y-1=0所围成的图形的面积。

18.某地区预计从2013年初开始的第月，商品A的价格
（
，价格单位：元），且第月该商品的销售量
（单位：万件）.（1）2013年的最低价格是多少？（2）2013年的哪一个月的销售收入最少？

19、数列
的前项和为
，满足
，且
．

（Ⅰ）求
，
，
；

（Ⅱ）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

20．（本小题满分14分）

已知
，
，
，其中是无理数且
，
.

（1）若
，求
的单调区间与极值；

（2）求证：在（1）的条件下，
；

（3）是否存在实数，使
的最小值是
？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2013-2014学年度第二学期四校联考

高二年级数学科理科参考答案

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

C

B

D

C

A

D

B

B



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.___1__ 12.

13.
14.

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤。）

15.（本小题满分12分）

已知复数
，试求为何值时，

（1）为实数？ （2）所对应的点落在第三象限？

解：（1）Z为实数，则虚部为0，即
，解得
或
……5分

（2）
……………………………………………………………7分

解得：
…………………………………………………………………11分

，故
………………………………………………………………………12分

16.(本小题满分12分)

已知函数
．

（1）若
在
处有极值，求的值；

（2）在（1）的条件下，求
在区间
上的最大值.

解：（1）
. ……………1分

在
处有极值，

， ……………3分

即
. ……………4分

.

当
时，
，当
时，
， ……………5分

∴
在
处取得极值时，
. ……………6分

（2）在（1）的条件下，
，
，

令
，得
或
， ……………7分

由(1)知函数
在
和
处有极值. ……………8分

又
，
，
， ……………11分

∴
在区间
上的最大值为
. ……………12分

17．（本小题14分）

设
，方程
有两个相等的实根，且
。

求
的表达式；

求函数
的图像与直线x+y-1=0所围成的图形的面积。

解：（1）
……………………………………………………………………1分

由题知，
……………………………………………………………………4分

解得
…………………………………………………………………………………6分

…………………………………………………………………7分

（2）
…………………………………………9分

所以

………………………………………………11分

…………………………………………14分

18、某地区预计从2013年初开始的第月，商品A的价格
（
，价格单位：元），且第月该商品的销售量
（单位：万件）.（1）2013年的最低价格是多少？（2）2013年的哪一个月的销售收入最少？

解：（1）
当
时，
取得最小值，

即第6月的价格最低，最低价格为
元；………………………4分

（2）设第月的销售收入为（万元），依题意有

，………………………6分

，……………………………………7分

所以当
时
，递减；…………………………………………9分

当
时
，递增，……………………………………………11分

所以当
时，最小，即第5个月销售收入最少. ……………………13分

答：2013年在第5月的销售收入最低. ………………………………………14分

19、数列
的前项和为
，满足
，且
．

（Ⅰ）求
，
，
；

（Ⅱ）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

解：（Ⅰ）
；
；
……………………………………3分

（Ⅱ）猜想数列
的通项公式为
……………………6分

下面用数学归纳法进行证明：

当
时，
，猜想成立．………………7分

假设当
时，
成立，…………………………8分

则当
时，由
，得

由
，得
………………10分

两式作差得：

即
……………11分

，所以猜想成立．

…………………………………………………………………………………………13分

综上所述，对一切正的自然数都有
．……………………14分

20．（本小题满分14分）

已知
，
，
，其中是无理数且
，
.

（1）若
，求
的单调区间与极值；

（2）求证：在（1）的条件下，
；

（3）是否存在实数，使
的最小值是
？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

解：（1）当a=1时，
，
，
（1分）

令
，得x=1.

当
时，
，此时
单调递减； （2分）

当
时，
，此时
单调递增. （3分）

所以
的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），
的极小值为
. （4分）

（2）由（1）知
在
上的最小值为1. （5分）

令
，
，所以
. （6分）

当
时，
，
在
上单调递增， （7分）

所以
.

故在（1）的条件下，
. （8分）

（3）假设存在实数a，使
（
）有最小值-1.

因为
， （9分）

①当
时，
，
在
上单调递增，此时
无最小值；（10分）

②当
时，当
时，
，故
在（0，a）单调递减；当
时，
，故
在（a，e）单调递增；