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| 简介：
命题人：湖南师大附中高二数学备课组 (考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容) 时量：120分钟 满分：150分 得分：
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集U＝{x∈N|0＜x≤8}，集合A＝{1,2,4,5}，B＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是 A.{1,2,4} B.{3,7,8} C.{1,2,4,6} D.{3,6,7,8} 2.已知f(x)＝x，若0 A.f(a) B.f C.f(a) D.f 3.函数f(x)＝ln x－x＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.在三角形ABC中，A、B、C的对应边分别是a、b、c，若acos C＝ccos A，且a、b、c成等比，则三角形ABC是 A.等边三角形 B.直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 5.在等比数列{an}中，已知a3＝，a9＝8，则a5a6a7的值为 A.±8 B.－8 C. 8 D.64 6.已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝3，向量a与b的夹角是60°，则|a＋b|＝ A. B. C. D. 7.已知sin α＝，且α∈，则的值等于 A. B. C.－ D. － 8.函数y＝ln cos x的图象是 9.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)为f(x)的导数).设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c三者的大小关系是 A.a 10.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f(x)＝x－[x]，x∈R的说法不正确的是 A.函数不具有奇偶性 B.x∈[1,2)时函数是增函数 C.函数是周期函数 D.若函数g(x)＝f(x)－kx恰有两个零点，则k∈(－∞，－1)∪ 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分 答案 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 11.计算sin 600°＝ . 12.已知圆C的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x－y－4＝0相切，则圆C的标准方程是 . 13.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝2，则f(2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x值为5时，则输出的结果是 . 15.若函数f(x)＝2sin，(－2 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝log2(－4x＋5·2x＋1－16). (1)求f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间[2，log27]上的值域. 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝sin－2sin2x＋1(x∈R). (1)求函数f的最小正周期及单调递增区间； (2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值. 18.(本小题满分12分) 已知数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，且－a2，Sn,2an＋1成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，求证：数列{bn}的前n项和Tn∈. 19.(本小题满分13分) 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v(千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数并标明定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 20.(本小题满分13分) 已知两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值(m∈R，m≠0). (1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线的形状； (2)若m＝－3，已知点A(1，t)(t>0)是轨迹M上的定点，E，F是动点M的轨迹上的两个动点且E，F，A不共线，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE＋kAF＝0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由. 21.(本小题满分13分) 已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1). (1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y＝f(x)－t有零点，求t的最小值； (3)若x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围. 一、选择题 6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝|a|·|b|cos θ＝4×3×＝6.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，＝. 7.C 【解析】因为sin α＝，α∈，则cos α＝－，tan α＝－.所以＝2tan α＝－，故选C. 二、填空题 11.－ 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 12.x2＋(y－1)2＝5 【解析】因为直线2x－y－4＝0与圆C相切，所以圆C的半径r＝＝. 故圆C的标准方程是x2＋(y－1)2＝5. 13.－2 【解析】f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－f(－3) ＝－f(－3＋4)＝－f(1)＝－2. 14.2 【解析】第一次x＝5－3＝2，第二次x＝2－3＝－1，满足x≤0，计算y＝0.5－1＝2. 15.72 【解析】f(x)＝2sin的周期是16，f(x)＝2sin(－2 三、解答题 17.【解析】f(x)＝sin－2sin2x＋1 ＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x＋sin 2x ＝sin3分 (1)最小正周期：T＝＝π，4分 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)可解得： kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为：(k∈Z)；6分 (2)由f(A)＝sin＝可得：2A＋＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z) 所以A＝，8分 又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c，9分 而·＝bccos A＝bc＝9，∴bc＝1810分 ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝4a2－54， ∴a＝3.12分 19.【解析】(1)由已知有可变成本＝，全程所用的时间为，3分 全程运输成本为y＝a·＋v2·＝s， 所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0,60].6分 (2)y′＝s＝s＝s，v∈(0,60]8分 由题意：s，a，v均为正数，当5<60即a<144时， y＝s在(0,5]上单减 ，在[5，60]上单增 所以此时当v＝5时，全程运输成本y最小.11分 (或用均值不等式：当5<60即a<144时，y＝s≥2s，当且仅当＝，即v＝5时等号成立) 当5≥60即a≥144时， 当v∈(0,60]时，y′<0， y＝s在 (0,60]上单减 ， ∴此时当v＝60时，全程运输成本y取最小值 综上，当a<144时，行驶速度v＝5千米/小时时全程成本最小； 当a≥144时，行驶速度v＝60千米/小时时全程成本最小.13分 (2)m＝－3时，动点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2) ∵点A(1，t)(t>0)在轨迹M上，∴＋＝1 解得t＝，即点A的坐标为7分 设kAE＝k(k≠0)，则直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，∵点A在动点M的轨迹上， ∴xE＝ ③， yE＝kxE＋－k ④9分 又kAE＋kAF＝0得kAF＝－k，将③、④式中的k代换成－k，可得 xF＝，yF＝－kxF＋＋k10分 ∴直线EF的斜率kEF＝＝ ∵xE＋xF＝，xF－xE＝ ∴kEF＝＝＝ 即直线EF的斜率为定值，其值为.13分 (3)因为x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1， 所以当x∈[－1,1]时，|(f(x))max－(f(x))min|＝(f(x))max－(f(x))min≥e－18分 由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增， 所以当x∈[－1,1]时，(f(x))min＝f(0)＝1，(f(x))max＝max， 而f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－＝a－－2ln a， 记g(t)＝t－－2ln t(t>0)， 因为g′(t)＝1＋－＝2≥0(当t＝1时取等号)， 所以g(t)＝t－－2ln t在t∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0 也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0 ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e－1a－ln a≥e－1a≥e， ②当0 综上知，所求a的取值范围为a∈∪.13分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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