一、选择题（每小题5分，共50分）

1．复数Z=的虚部为（ ）

A．1 B． -1 C．i D．－i

2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)

A．综合法 B．分析法 C.反证法 D．归纳法

3. 设函数
在R上可导，则
等于（ ）

A．
B．
C.
D．以上都不对

4.否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为 (　 　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

5.设
，则
等于(　 　)

A. B. C. D．不存在

6.设
，当
时，
（ ）

A．
B．
C．
D．

已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是（ ） A．(0,1)∪(2,3) B．(0,2)

C．(0,3) D．(0,1]∪[2,3)

8.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，

则（ ）

A．－1

C．－

9.若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是

A.3 B.4 C.5 D.6

10.如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC中边长为1的正三角形，曲线CA1，
、
是分别以A、B、C为圆心，AC、
、
为半径画的圆弧，曲线
记为螺旋线的第一圈。然后又以A为圆心，
为半径画圆弧......这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度
为（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝______.

12.函数f（x）=x-ln（x+1）的减区间是 .

13.函数
，若
，其中
，则
等于 .

14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______

定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得

f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2-x+1；③f（x）=ln（x+1）；④
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（12分）已知曲线
的图象经过点
，且在
处的切线方程是
，（1）求
的解析式； （2）求曲线过点
的切线的方程.

17．（12分）若
都是正实数，且
求证：
与
中至少有一个成立.

18．（12分）已知数列
的前n项和为
满足
，且

(1)试求出
的值；

(2)根据
的值猜想出
关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

19.（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

20．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线方程为
，求函数
的解析式；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．

21.（14分）如图，已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，过点（0，0），（1，0）和（2，6）.直线l1：x=2，直线l2：y=3tx（其中-1＜t＜1，t为常数）；若直线l2与函数f（x）的图象以及直线l1，l2与函数f（x）以及的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求y=f（x）；（2）求阴影面积s关于t的函数y=s（t）的解析式；

（3）若过点A（1，）
可做曲线

的三条切线，求实数的取值范围.

高二数学（理科）参考答案

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

C

D

C

C

A

C

A

A



一．选择题(10*5=50)

二．填空题(5*5=25)

 12.（-1，0） 13.
14. 15.①④

解答题(12+12+12+12+13+14=75)

16.（1）解：因为

所以
，又因为函数在
处的切线方程是

所以

又因为
的图像过（0，1）

所以

所以
...........6分

（2）解：设函数在切点（—1,0）处的斜率为

所以
由点斜式可得切线方程为

.......12分

17.证明：假设
和
都不成立，则有
和
同时成立，

因为
且
，

所以
且

两式相加，得
.

所以
，这与已知条件
矛盾.

因此
和
中至少有一个成立。..........12分

解：(1)
,
,
.......3分

（2）由（1）猜想
..........5分

（i）当n=1时，左边=
，右边=
=
，所以等式成立。.......7分

（ii）假设n=k时成立，即
.........8分

则当n=k+1时，左边=
右边。 ∴当n=k+1时，等式成立。............11分

由（i）（ii）可知，对
，等式成立....12分

（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，

底面积成本为160πr2元，

∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元,

即200?πrh+160πr2=12000π

∴
∴

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
，

故函数V（r）的定义域为（0，5
）............6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）中
，（0＜r＜5
）

可得V′（r）=
，（0＜r＜5
）。

令V′（r）=
=0 则r=5.

∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数

当r∈
，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数，

且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大......12分

20．（Ⅰ）解：
，由导数的几何意义得
，于是
．

由切点
在直线
上可得
，解得
．

所以函数
的解析式为
．.........3分

（Ⅱ）解：
．

当
时，显然
，这时
在
，
内是增函数．

当
时，令
，解得
．

当变化时，
，
的变化情况如下表：

































↗

极大值

↘

↘

极小值

↗



所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．.......7分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，
在
上的最大值为
与
中的较大者，对于任意的
，不等式
在
上恒成立，当且仅当

即
对任意的
成立．

从而得
，所以满足条件的
的取值范围是
．.................13分

（1）由二次函数过点（0,0），（1，0)和（2,6），

得
，解得

∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x2-3x...........3分

得x2-（1+t）x=0，

∴x1=0，x2=1+t，∵-1＜t＜1，

∴直线l2与f（x）的图象的交点横坐标分别为0，1+t，且0

由定积分的几何意义知：

=（1+t）3+2-6t，

即s（t)的解析式s（t)=（1+t）3+2-6t，（-1

∵曲线方程为s（t)=（1+t）3+2-6t，∴
，

又点A（1，m),m≠4不在曲线上，设切点M为（x0，y0），

则点M的坐标满足
，

∵
，

∴切线的斜率为
=
，

整理得2x03?6x0+m＝0，∵过点A（1，m)可作曲线三条，

∴有三个不等实根.

设g（x0）=2x03?6x0+m，则g′(x0)＝6x02?6，

由g′（x0）＞0，得x0＞1或x0＜-1；由g′（x0）＜0得-1＜x0＜1，

∴g（x0）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，

∴当x0=-1时，函数g（x0）取极大值，当x0=1时，函数g（x0）取极小值，

因此，关于x0的方程2x03?6x0+m＝0有三个不等实根的充要条件是
，

解得-4