时间120分钟，满分160分。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. 复数
的共轭复数为 ▲ ．

2.有4件不同的产品排成一排，其中A、B两件产品排在一起的不同排法有_▲___种．

3.若
是纯虚数，则实数的值是__ ▲___ ．

4. 若
，则的值为 ▲ 　．

5.
被
除所得的余数是_______▲______．

6. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数
中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数
中 ▲ ”．

7. 已知复数
且
，则
的范围为______▲_______．

8. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有　▲　　　种(用数字作答).

9.已知
的周长为，面积为，则
的内切圆半径为
．将此结论类比到空间，已知四面体
的表面积为，体积为，则四面体
的内切球的半径
▲ ．

10.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__▲______．(用数字作答)

11.用数学归纳法证明:

的第二步中,当
时等式左边与
时的等式左边的差等于　▲　　.

12.设
，若函数
有大于零的极值点，则的取值范围是__▲______．

13. 观察下列等式：

＋
＝；

＋
＋
＋
＝
；

＋
＋
＋
＋
＋
＝
；

……

则当
且
时，

＋
＋
＋
＋…＋
＋
＝__▲______(最后结果用
表示)．

14.已知
，
,

,则
的值为__ ▲___

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）

17. （本小题满分14分）由数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的数中，求：

（1）六位偶数的个数；

（2）求三个偶数互不相邻的六位数的个数；

（3）求恰有两个偶数相邻的六位数的个数；

（4）奇数字从左到右，从小到大依次排列的六位数的个数．

19. （本小题满分16分）已知
，
，
．

（1）当
时，试比较
与
的大小关系；

（2）猜想
与
的大小关系，并给出证明．

20．（本小题满分16分）已知函数
．

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求函数
的单调区间；

（3）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数的取值范围．

2013-2014学年第二学期高二期中考试

数学试卷（理科）参考答案

16. 【解析】（1）由条件得，
…（2分）

因为
在复平面上对应点落在第一象限，故有
…………（4分）

∴
解得
…………（6分）

（2）因为虚数
是实系数一元二次方程
的根

所以
，即
， …………（10分）

把
代入，则
，
， …………（11分）

所以
…………（14分）

17【解析】（1）偶数的个位数字必须是偶数。因而先排个位

满足条件的六位偶数共有
=360个； ……………3分

（2）先排奇数，然后有三个空，再插空排三个偶数

满足条件的三个偶数互不相邻的六位数有
=72个； ……………6分

（3）用捆绑法。先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数，

再从四个空里选两个空插这两个元素。满足条件的恰有两个偶数相邻的六位

数共有
=432个； …………10分

（4）满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有
=120个 ……………15分

注：表达式列对，答案算错扣1分

18.【解析】（1）由
解得n=10………………（2分）

因为通项：
………………（3分）

当5﹣
为整数，r可取0，6 ………………………………（4分）

展开式是常数项，于是有理项为T1=x5和T7=13400 ………………（6分）

（2）设第r+1项系数绝对值最大，则
………………（8分）

注：等号不写扣（1分）

解得
，于是r只能为7 ………………（10分）

所以系数绝对值最大的项为
………………（11分）

（3）

……………………13分

…………….16分

20.【解析】函数的定义域为
，
．………1分

（1）当
时，函数
，
，
．

所以曲线
在点
处的切线方程为
，

即
．………………………4分

（2）函数
的定义域为
．

1.当
时，
在
上恒成立，

则
在
上恒成立，此时
在
上单调递减． ……………5分

2.当
时，
，

（ⅰ）若
，

由
，即
，得
或
； ………………6分

由
，即
，得
．………………………7分

所以函数
的单调递增区间为
和
，

单调递减区间为
． ……………………………………9分

（ⅱ）若
，
在
上恒成立，则
在
上恒成立，此时
在
上单调递增． ………………………………………………………………10分

（Ⅲ））因为存在一个
使得
，

则
，等价于
.…………………………………………………12分

令
，等价于“当
时，
”.

对
求导，得
.……………………………………………13分

因为当
时，
，所以
在
上单调递增.

所以
，因此
. …………………………………………16分

另解：设
，定义域为
，

.

依题意，至少存在一个
，使得
成立，

等价于当
时，
. ………………………………………11分

（1）当
时，

在
恒成立，所以
在
单调递减，只要
，

则不满足题意.…… 12分

（2）当
时，令
得
.

（ⅰ）当
，即
时，

在
上
，所以
在
上单调递增，

所以
，由
得，
，所以
.………13分

（ⅱ）当
，即
时，

在
上
，所以
在
单调递减，

所以
，由
得
.………………14分

（ⅲ）当
，即
时， 在
上
，在
上
，

所以
在
单调递减，在
单调递增，

，等价于
或
，解得
，所以，
.…………………15分

综上所述，实数的取值范围为
.………………………………………16分