总分：160分 时间：120分钟

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.）

1. 命题“
”的否定为 ▲ .

2. 复数
的虚部为____▲_____.

3. 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的组合种数为

▲ （用数字作答）．

4. 复数
在复平面上的对应点位于第　　▲　　象限．

5. 将演绎推理：“
在
上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是 　▲　 ．

6. 设定义在R上的函数
满足
，
，则
＝　　　▲　　　　．

7. 用数学归纳法证明1＋
＋
＋…＋
＜n(n＞1,
)，在验证n＝2成立时，左式是

__▲__．

8. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复的5位奇数的个数为 ▲ ．

9. A、B、C、D、E五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B、C两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ．

10. 若多项式
= ▲ ．

11. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为
，所以36的所有正约数之和为

参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .

12. 由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“420”）顺序排列的数的个数是 　▲　 ．

13. 4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答）

14. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F



十进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则B×C＝ ▲ ．

二、解答题：(本大题共6小题，共90分.请在答题纸相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.（本题满分14分）

已知复数
，
，
为纯虚数．

（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求复数
的平方根．

16.（本小题满分14分）

（Ⅰ）求证：当
时，
；

（Ⅱ）证明：
不可能是同一个等差数列中的三项.

17.（本题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，求
在
上的最小值；

（Ⅱ） 若存在
，使
，求a的取值范围．

18.（本题满分16分）

某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．

（Ⅰ）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？

（Ⅱ）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？

（Ⅲ）甲、乙两日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？

19. （本题满分16分）

已知
展开式的二项式系数之和为256.

（Ⅰ）求n ；

（Ⅱ）若展开式中常数项为
，求m的值；

（Ⅲ）若
展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.

20.（本题满分16分）

已知数列
的前n项和为
，且

，令
.

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若

，用数学归纳法证明
是18的倍数．

2013—2014学年第二学期期中考试

高二数学（理科）答案

一、填空题

1.
2.
3. 30 4. 一

5. 若0＜a＜1，则
在
上是减函数 6. 3 7. 1＋
＋
　　

8. 36 9. 60 10. －10 11. 465 12. 204 13. 504 14. 84

二、解答题

15. 解：（Ⅰ）
. -----------------------------4分

∵
为纯虚数，　　∴
　　解得a＝3. --------------------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
，

设复数
（x∈R，y∈R）满足
，

则
　解得
或

∴所求的平方根为2-i或-2＋i . ----------------------------------------14分

16. 解：（Ⅰ）

又
且
，

∴
，

. （其他证法，如分析法，酌情给分）-----------------------7分

（Ⅱ）假设
是同一个等差数列中的三项，分别设为
，

则
为无理数，又
为有理数，矛盾.

所以，假设不成立，即
不可能是同一个等差数列中的三项. --------------------------14分

17. 解（Ⅰ）
--------------------------1分

根据题意，
--------------------------3分

此时，
，则
.

令

















－



＋









↘



↗





 ------------------------------------6分

∴当
时，
最小值为
. ------------------------------------7分

（Ⅱ）

①若
上单调递减.

又

---------------------------10分

②若

从而
在（0，
上单调递增，在（
，+
上单调递减.

根据题意，
----------------------------------------13分

综上，的取值范围是
. ----------------------------------------14分

18. 解：（Ⅰ）
（种） ---------------------------5分

（Ⅱ）
（种） -----------------------------------10分

（Ⅲ）
（种） --------------------------------------15分

答：分别不同排法总数是2640种，240种，2640种. --------------------------------------16分

19. 解（1）二项式系数之和为2n=256，可得n＝8； 　 -----------------------------------4分

（2）设常数项为第r+1项，则
，　----------------------------5分

故8－2r＝0，即r＝4，　------------------------------------------------------------------6分

则
，解得
.------------------------------------------------------------9分

（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大.　---------------------------------------------------10分

则
化简可得
. ----------------------------------------13分

由于只有第6项和第7项系数最大，

所以
，即
--------------------------------------------------15分

所以m只能等于2. -------------------------------------------------------------------16分

20. 解：（Ⅰ）当n＝1时，
，∴
.----------------------------------1分

当n≥2时，
，

∴
，即
.--------------------------------3分

∴
.

即当n≥2时
.----------------------------------------------------------------5分

∵
，∴数列
是首项为5，公差为3的等差数列. ------------------------------------6分

∴
，即
.--------------------------------------------------------7分

∴
.----------------------------------------------------------------------8分

（Ⅱ）
.

①当n＝1时，
，显然能被18整除；----------------------------------------------9分

②假设n＝k 时，
能被18整除，--------------------------------------10分

则当n＝k＋1时，

＝

＝

　　　＝

＝
，-------------------------------------------------------------13分

∵k≥1，

∴
能被18整除. -------------------------------------------------------------14分

又
能被18整除，

∴
能被18整除，即当n＝k＋1时结论成立. ---------------------------------------15分

由①②可知，当
时，
是18的倍数．-------------------------------------------16分