2015届高二年级第六次月考数学（理科）试卷

一、选择题（每小题5分共50分）

1. 设i是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A.
B．
C.
D．

2. 已知、为两条不同的直线,、
为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A．若
,
,且
,则

B． 若
,则

C．若平面内有不共线的三点到平面
的距离相等,则

D．若
,则

3. 将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A． 12种 B．18种 C．24种 D．36种

4.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )

A．152 B.126 C.90 D.54

5. 如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为（1,
）, 那么曲线
上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 ( )

A．
B．
C．
D．

6. 函数
满足
，其导函数
的图象如图所示，则
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( )

A. B. C．2 D.

7.双曲线
与抛物线
相交于
两点,公共弦
恰好过它们的公共焦点,则双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知抛物线
：

的焦点与双曲线
：
的右焦点的连线交
于第一象限的点
,若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则
( )

A.
B.
C.
D.

9. 设
，函数
的图象可能是 ( )

10.设a＞0，b＞0，[其中说法正确的是（ ）

A．若
，则a＞b B．若
，则a＜b

C．若
，则a＞b D．若
，则a＜b

二、填空题（每小题5分共25分）

11. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 种

12．已知函数
,在其图象上点(，
)处的切线方程为
,则图象上点(-
，
)处的切线方程为 ．

13. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、

十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）

14.已知四棱柱
中，侧棱
底面ABCD，且
，底面ABCD的边长均大于2，且
，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥
体积的最大值为______．

15.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列
,若
,则
。

2015届高二年级第六次月考数学（理科）试卷答题卡

一、选择题（10×5=50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（5×5=25分）

11、 12、 13、

14、 15、

三．解答题（共75分，解答题（16-19题每题12 分，20题13分，21题14分）

16、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是多少？

17.设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

18.已知
，
，
．

（1）当
时，试比较
与
的大小关系；

（2）猜想
与
的大小关系，并给出证明．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方

形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．

（1）证明PA∥平面BDE；

（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明

你的结论．

20．已知抛物线
的焦点以及椭圆
的上、 下焦点及左、右顶点均在圆
上．

（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线
于
两不同点，交轴于点
，已知
，求
的值；

（3）直线
交椭圆
于
两不同点，
在轴的射影分别为
、
，
，若点
满足
，证明：点
在椭圆
上．

21.已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，不等式f(x)≥bx－2对?x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；

(3)当x>y>e－1时，证明不等式exln(1＋y)>eyln(1＋x)．

2015届高二年级第六次月考数学（理科）试卷答答案

1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A

11.120 12.
13. 324 14.
15.1033 16. 48

17.解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，即m的最大值为－.

(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当12时，f′(x)>0.

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；当x＝2时，f(x)取极小值，f(2)＝2－a，

故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a<2或a>.

18、

19、（理）解：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=CD=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

所以
=（2，0，﹣2），
=（0，1，1），
=（2，2，0）．

设
=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，

则由
，得
；取=﹣1，则
=（1，﹣1，1），

∵
?
=2﹣2=0，∴
⊥
，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．

（2）由（1）知
=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又
=
=（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．

设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由图可知θ=＜
，
＞，

∴cosθ=cos＜
，
＞=
=
=
，故二面角B﹣DE﹣C余弦值为
．

（3）∵
=（2，2，﹣2），
=（0，1，1），∴
?
=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设
=λ
（0＜λ＜1），

则
=（2λ，2λ，﹣2λ），
=
+
=（2λ，2λ，2﹣2λ），

由
?
=0得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴λ=
∈（0，1），此时PF=
PB，

即在棱PB上存在点F，PF=
PB，使得PB⊥平面DEF．

20．解：（1）由抛物线
的焦点
在圆
上得：
，
，∴抛物线

同理由椭圆
的上、下焦点
及左、右顶点
均在圆
上可解得：
．

得椭圆
．

（2）设直线
的方程为
，则
．

联立方程组
，消去得：

且

由
得：

整理得：

．

（3）设
，则

由
得
…………①

……………………②
……………………③

由①+②+③得

∴
满足椭圆
的方程，命题得证．

21.(1)解　f′(x)＝a－＝(x>0)．

当a≤0时，ax－1<0，从而f′(x)<0，

函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当a>0时，若0

若x>，则ax－1>0，从而f′(x)>0，

函数在上单调递减，在上单调递增．

(2)解　根据(1)函数的极值点是x＝，若＝1，则a＝1.

所以f(x)≥bx－2，即x－1－ln x≥bx－2，

由于x>0，即b≤1＋－.

令g(x)＝－，则g′(x)＝－－＝，

可知x＝e2为函数g(x)在(0，＋∞)内唯一的极小值点，也是最小值点，故g(x)min＝g(e2)＝－，

所以1＋－的最小值是1－，

故只要b≤1－即可，

故b的取值范围是.

(3)证明　不等式exln(1＋y)>eyln(1＋x)?>.

构造函数h(x)＝，

则h′(x)＝＝，

可知函数在(e，＋∞)上h′(x)>0，

即函数h(x)在(e，＋∞)上单调递增，由于x>y>e－1，

所以x＋1>y＋1>e，所以>，

所以exln(1＋y)>eyln(1＋x)．