厦门六中2013—2014学年下学期高二期中考试

数 学（理科） 试 卷

满分150分 考试时间120分钟 考试日期：20140505

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.

1．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形对角线相等，以上三段论推理中错误的是（ ）

Ａ．大前提 Ｂ．小前提 Ｃ．推理形式 Ｄ．大小前提及推理形式

2．设i为虚数单位，则
展开式中的第三项为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.从集合
中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )

A.30个 B.35个 C.36个 D.42个

4.
的大小关系是（ ）

A
B
C
D 无法确定

5.甲乙两人同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.7, 乙击中敌机的概率是0.5,则敌机被击中的概率是（ ）

A．0.75 B． 0.85 C．0.9 D． 0.95

6.设
，则二项式
展开式的常数项是( )

A.160 B.20 　　　C.
D.

7．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）

A．18种 B．36种 C．48种 D．120种

8.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)

9．定义
的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）的运算的结果可能是下列（　　）

Ａ．
，
Ｂ．
，

Ｃ．
，
Ｄ．
，

10.从装有
个球的口袋中取出个球（
），共有
种取法。

在这
种取法中，可以分成一个指定的球被取到和未被取到两类：一类是该指定的球未

被取到，共有
种取法；另一类是该指定的球被取到，共有
种取法。显然

，即有等式：
成立。试根据上述思想，则有：

（其中
）为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.计算：
=________。

12.对于三次函数
（
），定义：设
是函数
的导数
的导数，若方程
＝0有实数解
，则称点
为
的“拐点”．有同学发现“任一个三次函数都有‘拐点’；任一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数
的对称中心为_____。

13．直线
与抛物线
所围成的图形面积是 .

14．有A、B、C、D、E五名同学参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两同学去问成绩，老师对A说：“你没有得第一名”，又对B说：“你是前三名”，从这个问题分析，这五名同学的名次排列共有_______________种可能（用数字作答）

15.若
且
，

则
.

16.设函数
，
,若对于任意

，总存在

，使得
成立．则正整数a的最小值为 .

三．解答题（共6题，17-20每题12分，21、22题每题14分，共76分）

17.（本小题满分12分）

某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加学校的义务劳动。（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；

（2）求男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率；

（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B︱A）。

18. （本小题12分）

已知二项式
展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；

（1）求n；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中所有的有理项.

19．（本小题满分12分）

学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需从4门选修课中任选1门选修课选修，对于该年级的甲、乙、丙3名学生：求：

（1）甲选战争风云课而且乙选投资理财课的概率；

（2）这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

（3）投资理财选修课被这3名学生选择的人数X的分布列。

20．（本小题满分12分）

已知
。

（1）若不等式
恒成立，求的取值范围；

（2）令
n是正整数；

①写出函数
的表达式，由此猜想
(n∈N
)的表达式；

②用数学归纳法证明你的结论。

21.（本小题满分14分）

某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入金额x万元之间满足：①y与
和
的乘积成正比；②当
时，
.

并且技术改造投入的金额满足；
，其中t为常数；

（1）求
的解析式及定义域；

（2）当
时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额.

24.（本小题满分14分）

已知函数
；

（1）求函数
的单调区间及最值；

（2）证明：对任意的正整数n，
都成立.

（3是否存在过点（1，-1）的直线与函数
的图像相切？若存在，有多少条？若不

存在，说明理由。

厦门六中2013—2014学年下学期高二期中考试

数学（理科）答题卷

满分150分 考试时间120分钟 考试日期：20140505

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．_ ___ 12．__ ___ 13. _____14． ___ 15．_________。16. 。

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

17．（本小题满分12分）

解：

18. （本小题满分12分）

解：

19. （本小题满分12分）解：

20（本小题满分12分）解：

21.（本小题满分14分）解：

22.（本小题满分14分）解：

厦门六中2013—2014学年下学期高二数学（理科）半期考答案

一.选择题：ADCAB；CBDBA。二.填空题：i；
；
；60；64；2

三.17. （1）X=0、1、2、3………1分

X

0

1

2



P









………4分

（2）P=1-
………8分

（3）P(A)=
, P(AB)=
, P(B∣A)=

………12分

18. 解：（1）由已知得：
，
…………3分

（2）通项
，…………5分

展开式中系数最大的项是第3项（r=2）：
…………7分

（3）由（2）得：
，即
…………9分

所以展开式中所有的有理项为：
…………12分

19.解：(1)记甲选战争风云课为事件A、乙选投资理财课为事件B，

由于事件
相互独立，且
，
．-----------2分

故甲选战争风云课、乙选投资理财课的概率为
．--------(3分)

法二：记甲选战争风云课、乙选投资理财课为事件M，则
--------(3分)

(2) 3名学生选择了3门不同的选修课的概率为
----------6分

(3) 设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为
，则
＝0,1,2,3 ----7分

P(
＝0)＝
　　　 P(
＝1)＝

P(
＝2)＝
　　 P(
＝3)＝
-----------11分

的分布列是

-----------12分

∵不等式
恒成立，∴
，∴
…………5分

（2）
∴

…………6分

猜想
…………8分

证明：（1）n=1时，
，∴猜想成立；…………9分

（2）设n=k时结论成立即：
；

n=k+1时有：

∴n=k+1时结论成立；11分，综上（1）（2）
对任意正整数成立。12分

21解：（1）由已知，设
∵当

则
………………4分

∵
∴
的定义域为
………6分

（2）∵
令
……8分

∵
当

上单调递增；

当

上单调递减. ………………10分

∴当
时，
取得极大值.∵
∴当
12分

∴当
……13分

综上，当
万元，最大增加值是
万元.

当0

22.解：（Ⅰ）由题意函数
的定义域为
，
．…………………2分

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，…………………4分

，无最大值． …………………5分

(Ⅱ)由⑴知
，故
，…………………7分

取
由上式迭加得：
． …………………9分

(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点
，

切线方程：
，…………………10分

将点坐标代入得：
，即
， ①

……设
，则
． ……………11分

，
在区间
，
上是增函数，在区间
上是减函数，

故
．…………………12分

又
，…………………13分

注意到
在其定义域上的单调性，知
仅在
内有且仅有一根

所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…………………14分