甘肃兰州一中

2013—2014学年度下学期期中考试

高二数学理试题

说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分,考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

1.已知i为虚数单位，复数
，则实数a的值为

A.2 B.
C.2或
D.
或0

2. 某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14 B.24 C.28 D.48

3.函数
的零点个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

4.在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有

A.15种 B.18种 C.19种 D.21种

6.设曲线
在点(3,2)处的切线与直线
垂直，则

A.2 B.
C.
D.

7. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为

A.36 B.48 C.72 D.120

8.函数
在
内有极小值，则

A．
B．
C．
D．

9.函数
的定义域为，
对任意

则

的解集为

A．
B．（
，+） C．（
，
） D．（
，+）

10.如果
的三个内角的余弦值分别等于
三个内角的正弦值，则

A．
和
都是锐角三角形

B．
和
都是钝角三角形

C.
是锐角三角形，
是钝角三角形

D．
是钝角三角形，
是锐角三角形

第Ⅱ卷（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

11.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：
，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是 .

12.已知函数
,则
的值等于 .

13.二项式
的展开式的常数项是_________.

14.已知数列
依它的前10项的规律，则

_.

三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分8分）

已知实数
满足
，证明：
.

16.（本小题满分8分）证明：
.

17.(本小题满分8分)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：

(
，
为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求
的值及
的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用
达到最小？并求出最小值．

18.(本小题满分8分)

函数
的图象记为E.过点
作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条，求
的值.

19.（本小题满分12分）

已知

（1）求函数
的最小值；

（2）对一切
恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切
，都有
成立.

参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

A

D

B

C

B

A

D

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上．）

11.
12. 3 13. -20 14.

三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分8分）

证明：证法一
，∴
，
，

∴
，
. ……………………………………………2分

∴
，即
， ……………4分

∴
，

∴
， ……………………………6分

即
，

∴
. ……………………………………………8分

证法二：要证
，

只需证
……………2分

只需证

只需证
………………………4分

即
. ……………………………………6分

，∴
，
，∴
成立.

∴要证明的不等式成立. ………………………………………8分

16.（本小题满分8分）

证明：①当
，不等式显然成立. …………………………2分

②假设
时不等式成立，

即
……………………………4分

当
时，

左边=

不等式成立. ……………………………7分

由①②可知，对一切
都有

……………………………………………………………………………8分

17.(本小题满分8分)

解：（1）当
时，
，
，
………………………2分

…………………4分

（2）
， ……………………………………5分

设
，
.

当且仅当
这时
，因此
的最小值为70.

即隔热层修建
厚时，总费用
达到最小，最小值为70万元．………8分

（本题亦可用导数求解）

18.(本小题满分8分)

解：
. …………………………1分

设切点为
，则切线方程为
， ……………2分

将点
代入得

，可化为
. ……4分

设
,

，
的极值点为
. ………………6分

作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条,

，
………………8分

19.（本小题满分12分）

解：（1）由已知知函数
的定义域为
，
，…………1分

当
单调递减， ………………………………2分

当
单调递增. ……………………………3分

. ……………………………………………………4分

（2）
，则
， ………………………5分

设
，则
， …………6分

①
单调递减；

②
单调递增；

，对一切
恒成立，

. ………………………………………………………8分

（3）原不等式等价于
， ………………………9分

由（1）可知
的最小值是
，当且仅当
时取到最小值. ………………………………………………………………………10分

设
，则
，

易知
，当且仅当
时取到最小值.从而对一切
，都有
成立. ……………………………12分