2013-2014学年度第二学期期中试卷

高二  文科数学

考试时间120分，满分120

题　号

一

二

三

总分



得　分











总分人













评卷人

得分









一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，只有一项符合题目要求，请将答案填入答题栏内.

1．复数
( )

A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i

2.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)·z=(　　)

A.1+3i B.3+3i C.3-i D.3

3.在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤:

①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.

如果根据可靠性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是(　　)

A.①②⑤③④ B.③②④⑤① C.②④③①⑤ D.②⑤④③①

4.工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为
=50+60x,下列判断正确的是(　　)

A.劳动生产率为1 000元时,工资为110元

B.劳动生产率提高1 000元,则工资提高60元

C.劳动生产率提高1 000元,则工资提高110元

D.当月工资为210元时,劳动生产率为1 500元

5.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )

（A）－1 （B）0 （C） （D）1

6．“因为对数函数
是增函数，而是
对数函数，所以
是增函数”，上面推理错误的是（ ）

A.大前提错导致结论错误 B.小前提错导致结论错误

C. 推理形式错导致结论错误 D. 大前提和小前提都错导致结论错误

7.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）

A.假设三个内角都不大于60度

B. 假设三个内角都大于60度

C. 假设三个内角至多有一个大于60度

D. 假设三个内角至多有两个大于60度

8.给定数列，1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…则这个数列的通项公式是( )

A.
B.

C.
D.

9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　 )

A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0

10.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(　　)

A.3 B.11 C.38 D.123

11.已知复数z1=cos α+isin α和复数z2=cos β+isin β,则复数z1·z2的实部是(　　)

A.sin(α-β) B.sin(α+β)

C.cos(α-β) D.cos(α+β)

12.下面给出了关于复数的四种类比推理,

①复数的加减法运算,可以类比多项式的加减法运算法则;

②由向量a的性质|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;

③方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同的实数根的条件是b2-4ac>0,类比可得方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同的复数根的条件是b2-4ac>0;

④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比得到的结论正确的是(　　)

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























评卷人

得分









二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.
则，
______
（用
填空）

14 .某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:

月平均气温x/℃

17

13

8

2



月销售量y/件

24

33

40

55



由表中数据算出线性回归方程
中的
，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为　　　　　.?

15..观察下列式子
, … … ,

可猜想：当
时,有________________________________

16.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零　　　　(填“大”或“小”).?

评卷人

得分









三、解答题（本大题共6小题，共56分）

17．（本题满分8分）（1）在数列
中
，
，猜想这个数列的通项公式。

（2）已知数列
的前n项和为
，满足，
，计算
，
，
，
，并猜想
的表达式

18．（本题满分8分）在
中，三个内角A,B,C的对边为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证
为等边三角形。

19．（本题满分8分）已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.

求证：a2＋b2＋c2≥.

20．（本题满分10分）已知复数
的模为
，求
的最大值．

21. （本题满分10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：

您是否需要志愿者

男

女



需要

40

30



不需要

160

270



（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

 0.050 0.010 0.001





 3.841 6.635 10.828





22．（本题满分12分）已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．

2013-2014学年度第二学期高二数学文科期中考试试卷参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

B

D

A

B

C

D

B

D

D



13． 14. 46 15．
(n∈N*) 16．大　

17.解　（1）
（3分）

（2）
（5分）

18.证明：A,B,C成等差数列得，
（3分）

，a,b,c成等比数列及余弦定理得a=c,（8分）

所以
为等边三角形

19. [证明]　由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.

三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.

由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，

即a2＋b2＋c2≥.

20.解：
，

，（5分）

故
在以
为圆心，
为半径的圆上，

表示圆上的点
与原点连线的斜率．（7分）

如图，由平面几何知识，易知
的最大值为
．（10分）

21解　（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为
. ……2分

(2)

由于
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……6分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……10分

22.解：　(1)证法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，
且ax1>0，

又∵x1＋1>0，x2＋1>0，

∴f(x2)－f(x1)＝－

＝

＝>0，

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

证法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋

∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，

f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，

即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(6分)

(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0

则ax0＝－，且0

∴0<－<1，即

故方程f(x)＝0没有负数根．

解法2：设x0<0(x0≠－1)

①若－1

②若x0<－1则>0，ax0>0，

∴f(x0)>0.

综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负根．（12分）