一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出选项中，有且只有一项是正确的)

1．复数＝(　　)．

A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i

2．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．“若xy，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

3．对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)．

A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>1

5．设f(n)＝＋＋…＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　)

A. B.C.＋ D.－

6．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是(　　)

A．(，)　　　B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π)

7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)

A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1

8.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)

A. B. C. D.

9.下列命题中，真命题是(　　)

A．?x∈R，ex≤0

B．?x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

10．下列函数求导运算正确的个数为(　　)

①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.

A．1 B．2 C．3 D．4

11．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

上述三个推理中，正确的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

12．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本题5个小题，共20分）

13．e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，则a∥b的充要条件是实数k＝________.

14．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n2”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．

15．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

16．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

三.解答题（本题6个小题，共70分）

17．（本小题共10分）

已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

18．（本小题共12分）

在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

(1)证明数列是等差数列；

(2)求数列{an}的通项；

19．（本小题共12分）

已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域和单调递增区间．

20（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面为正方形，侧面
底面
．
为等腰直角三角形，且
．，分别为底边
和侧棱
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

21.（本小题共12分）

已知抛物线C：
(
)的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为
,求证：直线AB过定点．

22. （本小题共12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在区间
的最小值为，求的值．

 2013—2014学年度高二第二学期期中考试试题

理科数学参考答案

6．解析：选C.y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.

7．解析：选A.f′(x)＝3ax2－1，若a＝0，则f′(x)＝－1＜0，f(x)在R上为减函数，若a≠0，由已知条件即.解得a＜0.综上可知a≤0.

8.解析：选C.阴影部分的面积为

故所求的概率P＝＝，故选C.

9.解析：选D.因为?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.应选D.

10．解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.

11．解析：选C.①三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，而两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a·b)c与向量a(b·c)不一定满足，故①错误．

②由an＋1＝2an＋2，可得an＋1＋2＝2(an＋2)，故数列{an＋2}为等比数列，易求得an＝2n－2，故②正确；

③在四面体ABCD中，设点A在底面BCD上的射影是O，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故③正确．

12．【解析】：由
，
得：
，即
，令
，则当
时，
，即
在
是减函数，
，
，
，

在
是减函数，所以由
得，
，即
，故选

二．填空题（本题5个小题，共20分）

13．解析：a＝λb，?k2＝1?k＝±1.答案：±1

14．解析：将n＝2,3,4,5分别代入验证，可得n＝2,3,4时，2n≤n2，而n＝5时，25＞52.答案：5

15．解析：原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题 答案：3

16．解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题．②“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．③“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．答案：①②④

三.解答题（本题6个小题，共70分）

18．（本小题满分12分）

解：(1)证明：将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．

所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．---------------------6分

(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.---------------------12分

19．（本小题满分12分）解：(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sinxcosx

＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，

∴f(x)的最小正周期为π. ----------------------------6分

(2)∵x∈[－，]，∴－≤2x＋≤π，

∴－≤sin(2x＋)≤1.

∴f(x)的值域为[－2，]．

当y＝sin(2x＋)递减时，f(x)递增，

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

又x∈[－，]，∴≤x≤.

故f(x)的单调递增区间为[，]．----------------------------12分

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，
.

因为，分别是
，
的中点， 所以
是△
的中位线.

所以
∥
，且
．

又因为是
的中点，且底面
为正方形，

所以
，且
∥
. 所以
∥
，且
．

所以四边形
是平行四边形． 所以
∥
．

又
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………4分

（Ⅱ）证明： 因为平面
平面
，

，且平面
平面
，

所以
平面
．

所以
，
．

又因为
为正方形，所以
，

所以
两两垂直.

以点为原点，分别以
为
轴，

建立空间直角坐标系（如图）．

由题意易知
，

设
，则

，
，
，
，
,
,
．

因为
，
，
，

且
，

所以
，
．

又因为
，
相交于，所以
平面
． …………… 8分

（Ⅲ）易得
，
．

设平面
的法向量为
，则

所以
即

令
，则
．

由（Ⅱ）可知平面
的法向量是
，

所以
.由图可知，二面角
的大小为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ……………12分

方法二：设
.

（1）若直线AB斜率存在，设其方程为
.---------------4分

即
.----------------------7分

∴
，
.----------------------------------8分

∵直线OA、OB的斜率之积为
，即
,

∴
，即
,带入直线方程，得直线AB方程为
.

∴即直线AB过定点（8,0）.------------------------------10分

（2）若直线AB斜率不存在，则
，

由
可得
，∴直线AB方程为
，过定点（8,0）.- ----------11分

综上，直线AB过定点．---------------------------------12分

22（本小题满分12分）

解：函数
的定义域是
，

．

（Ⅰ）（1）当
时，
，故函数
在
上单调递减．

（2）当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减．

（3）当
时，令
，又因为
，解得
．

①当
时，
，所以函数
在
单调递减．

②当
时，
，所以函数
在
单调递增．

综上所述，当
时，函数
的单调减区间是
，

当
时，函数
的单调减区间是
，单调增区间为
．…6分

（Ⅱ）（1）当
时，由（Ⅰ）可知，
在
上单调递减，

所以
的最小值为
，解得
，舍去．

（2）当
时，由（Ⅰ）可知，

①当
，即
时，函数
在
上单调递增，

所以函数
的最小值为
，解得
．

②当
，即
时，函数
在
上单调递减，

在
上单调递增，所以函数