学校 姓名 联考证号

山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学（文科）

注意事项:

1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝
，B＝
}，则A
B＝

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
(
是虚数单位)，若
，则
的虚部是

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
，若
，则实数的值等于

A．
B．
C．
D．

4．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．5

5．给出下列四个命题：

① 因为
，所以
；

② 由
两边同除
，可得
；

③ 数列1，4，7，10，…，3n+7的一个通项公式是
；

④ 演绎推理是由一般到特殊的推理，类别推理是由特殊到特殊的推理．

其中正确命题的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程
和
，两人计算知相同，
也相同，下列正确的是

A．
与
重合 B．
与
一定平行

C．
与
相交于点
D．无法判断
和
是否相交

7．“
”是“直线
与直线
平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．等差数列
的前项和为
，且
，

则
为

A．-6 B．-4 C．-2 D．2

9．右图给出的是计算
的值的一个流程图，

其中判断框内应填入的条件是

A．
B．
C．
D．

10．若函数
的图像与轴交于

点，过点的直线
与函数f (x)的图像交于
两点，

则

A．-32 B．-16 C．16 D．32

11．设a，b，c (－，0)，则a＋，b＋，c＋

A．都不大于－2 B．都不小于－2

C．至少有一个不小于－2 D．至少有一个不大于－2

12．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”．已知
，若对任意的实数满足
时，函数
在区间上
为“凸函数”，则
的最大值为

A．4???? B．3????? C．2 D．1

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)

13．已知实数x，y满足条件
，则
的最大值为 ．

14．将掷一枚骰子一次得到的点数记为，则使得关于的方程
有实数解的概率为________．

15．若数轴上不同的两点
分别与实数
对应，则线段
的中点
与实数
对应．由此结论类比到平面：若平面上不共线的三点
分别与实数对
对应，则
的重心
与 对应．

16．下面的数组均由三个数组成：

(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．

若数列{
}的前n项和为
，则
= （用数字作答）．

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．(本题满分10分)（A题仅限忻州一中和范亭中学学生做，B题其余学校学生做）

A．已知直线
的方程为
，圆
的方程为
．

(1) 把直线
和圆
的方程化为普通方程；

(2) 求圆
上的点到直线
距离的最大值．

B．已知复数
．

(1) 求z的共轭复数
；

(2) 若
，求实数
的值．

18．(本题满分12分)

在△ABC中，
分别是角
所对的边，且满足
．

(1) 求
的大小；

(2) 设向量
，求
的最小值．

19．(本题满分12分)

如图，在直角梯形
中，
(，
，

平面
，
，
，设
的 中点为
，
．

(1) 求证：
平面
；

(2) 求四棱锥
的体积．

20．(本题满分12分)

随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了个人，其中男性占被调查人数的
．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有
的人的休闲方式是运动．

运动

非运动

总计



男性









女性









总计









(1)完成下列
列联表：

(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少为多少？

（3）根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？

（参考公式：
,其中n = a + b + c + d，临界值表如下：

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





21．(本题满分12分)

长方形
中，
，
．以
的中点
为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．

(1) 求以、为焦点，且过
、两点的椭圆的标准方程；

(2) 过点
的直线
交(1)中椭圆于M，N两点，是否存在直线
，使得以线段
为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求

出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

22．(本题满分12分)

已知函数
，其中
．

(1) 当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

(2) 求函数
的单调区间及在(1，+()上的最大值．

忻州市2013(2014学年第二学期期中联考

高二数学(文科)参考答案及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

ADBBA CAACD DC

二．填空题(每小题5分，共20分)

13．10 14． 15．
16．2101

三．解答题(本大题共6小题，共70分)

17．A．解：(1)直线
的方程为
. ……3分

圆
的方程为
. ……6分

(2) 易求得圆心
到直线
的距离为
, ……8分

所以距离的最大值为
=
. ……10分

B．解：(1)
． ……4分

∴
＝1(i． ……5分

(2)
即
……8分

解得
．
……10分

18．解：(1)∵
，∴
． ……3分

又∵
，∴
． ……5分

（2）
　　 ……6分

， ……8分

∵
，∴
．　　 …10分

∴当
时，取得最小值为
． ……12分

19．解：（1）证明：
，
．

又
，
． ……6分

（2）
，

，又SD(平面ABCD，∴BC(SD．

SD∩DM＝D，∴BC(平面SBD． ……9分

BD(平面SBD，∴BC(BD．

∵

．
．

∴
． ……12分

20．解：（1）依题意：被调查的男性人数为
，其中有
人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为
，其中有
人的休闲方式是运动，则
列联表如下：

运动

非运动

总计





男性











女性











总计











……4分

(2) 由表中数据，得
．

要在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，

则
，

所以
，解得
． 又
，且
，∴
．

故本次被调查的人数至少是140人． ……8分

(3) 由(2)可知
，

所以，本次被调查的人中至少有56人的休闲方式是运动． ……12分

21．解：(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为
．

设椭圆的标准方程是
.

2a=|AC|+|BC|=3+1=4>2
，
．

.

椭圆的标准方程是
……4分

(2) 由题意直线的斜率存在,可设直线
的方程为
.

联立方程
,消去整理得

． ……6分

设M,N两点的坐标分别为

∴
．

若以MN为直径的圆恰好过原点,则
,所以
, ……8分

所以,
,

即
．

所以
，即

得
满足(>0． ……10分

所以直线
的方程为
,或
.

故存在过P(0,2)的直线
:
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点．

……12分

22．解:（1）当
时，
，
， ……1分

又
，则
． ……3分

所以曲线
在点
处的切线方程为
． …4分

(2)
．

由于
，令
，得到
，
, ……6分

当变化时，
的变化情况如下表：

















0



0







(

极小值

(

极大值

(



 ……9分

∴
在区间
,
内为减函数，在区间
内为增函数．

故函数
在点
处取得极大值