参考公式：⑴独立性检验公式：

P(K2≥k)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



⑵回归直线参数公式：

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题选项中，有且只有一项是正确的)

1．复数＝(　　)．

A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i

2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是(　　)

A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度

C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度

3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．“若xy，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

4．对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．大前提：对任意正整数a，b，a＋b≥2 小前提：x＋≥2 

结论；所以x＋≥2 以上推理过程中的错误为(　　)

A．大前提 B．小前提 C．结论 D．无错误

6．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)．

A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>1

7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)

A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1

8．下列命题中，真命题是(　　)

A．?x∈R，ex≤0 B．?x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：

广告费用x(万元)

4

2

3

5



销售额y(万元)

49

26

39

54



根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

A．63.6万元　　　　B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

10．下列说法中正确的有(　　)

①若r>0，则x增大时，y也相应增大； ②若r<0，则x增大时，y也相应增大；

③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．

A．①②　　　　　　　　　B．②③ C．①③ D．①②③

11．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀

非优秀

总计



甲班

10

b





乙班

c

30





总计





105



已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)

A．列联表中c的值为30，b的值为35

B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

12．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

y1

y2

总计



x1

a

21

73



x2

2

25

27



总计

b

46







二．填空题（本题5个小题，共20分）

13．右面是一个2×2列联表：

则表中a、b处的值分别为________．

14． e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，

则a∥b的充要条件是实数k＝________.

15．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

16．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；

③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

三.解答题（本题6个小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)判断性别与休闲方式是否有关系．

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域和单调递增区间．

19．（本小题满分12分）

已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

(3)求斜率为1的曲线的切线方程．

20．（本小题满分12分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2004

2006

2008

2010

2012



需求量(万吨)

236

246

257

276

286





(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．

21．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
，底面
是等腰梯形，且
∥
，是
中点，
平面
，
，
是
中点．

（1）证明：平面
平面
；

（2）求点到平面
的距离.

22.（本小题共12分）

已知抛物线C：
(
)的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为
,求证：直线AB过定点．

 2013—2014学年度高二第二学期期中考试试题

文科数学参考答案

7．解析：选A.f′(x)＝3ax2－1，若a＝0，则f′(x)＝－1＜0，f(x)在R上为减函数，若a≠0，由已知条件即.解得a＜0.综上可知a≤0.

8．解析：选D.因为?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.应选D.

9.解析：选B.样本中心点是(3.5,42)，则＝－x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程

是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.

10解析：选C.r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．

11．解析：选C.由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．

16．解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，

∴①是真命题．②“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．③“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．答案：①②④

三.解答题（本题6个小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

解：(1)2×2列联表如下：

　　　休闲方式

性别　　　

看电视

运动

总计



女

43

27

70



男

21

33

54



总计

64

60

124



-------------------4分

(2)假设“休闲方式与性别无关”，计算K2＝≈6.201，

因为K2≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”． -------------------12分

19． （本小题满分12分）

解：(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为k1＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. -------------------4分

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为k2＝x.

∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. -------------------8分

(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为： x＝1，x0＝±1.

切点为(－1,1)或，

∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0. --------12分

20．（本小题满分12分）

解：(1)由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

年份－2008

－4

－2

0

2

4



需求量－257

－21

－11

0

19

29



对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，

＝＝＝6.5，

＝－＝3.2.

由上述计算结果，知所求回归直线方程为－257＝b(x－2008)＋a＝6.5(x－2008)＋3.2，

即＝6.5(x－2008)＋260.2.　　①

(2)利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为

6．5×(2014－2008)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

21．（本小题满分12分）

【解析】： (1) 证明：由题意，
∥
，
=

∴四边形
为平行四边形，所以
.

又∵
，
∴
∥

又
平面
，
平面
∴
∥平面
………4分

同理，
∥平面
，又

∴平面
∥平面
. …………6分

（2）设求点到平面
的距离为
.

因为V三棱锥A-PCD= V三棱锥P-ACD即

. ………12分

下面证明直线AB过M点

∵
，

由
可知向量
与
共线.

∴直线AB过定点M．---------------------------------------12分

方法二：设
.

（1）若直线AB斜率存在，设其方程为
.---------------4分

即
.∴
，
.----------------------8分

∵直线OA、OB的斜率之积为
，即
,

∴
，即
,带入直线方程，得直线AB方程为
.

∴即直线AB过定点（8,0）.------------------------------10分

（2）若直线AB斜率不存在，则
，

由
可得
，

∴直线AB方程为
，过定点（8,0）.-------------------12分

综上，直线AB过定点．---------------------------------12分