学校 姓名 准考证号

山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学（理科）

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设全集
，则图中阴影部分表示的集合为

A.
B.

C.
D.

2．已知：复数
,它的共轭复数为
，则

A．
B．
C．
D．

3．函数
=1++cos在(0,2()上是

A．增函数 B．减函数

C．在(0,()上增，在((,2()上减 D．在(0,()上减，在((,2()上增

4．设P为曲线C：y=
+2+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是,），则点P横坐标的取值范围为

A．(1,(  B．(,(1） C．0,1） D．,1

5．函数
与轴，直线
围成的封闭图形的面积为

A．
B．
C．
D．

6．函数=

的导函数是

A．y′=3

B．y′=2

C．y′=3

+

D．y′=3

+

7．用数学归纳法证明
时，从n＝k到
，左端需要增加的代数式为

A．2k＋1 B．2(2k＋1)

C． D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出
的值为

A．3 B．－6

C．10 D．－15

9. 函数
在区间
上的最小值为

A．
B．

C．
D．

10．观察
，
，
，由归纳推理可得：若定义在R上的函数
满足
，记
为
的导函数，则
＝

A．
B．－
C．
D．－

11．给出以下命题：

①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．

②
=2；

③已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是

(－2,2)

其中正确命题是

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

12．若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数
的图像上；

②P、Q关于原点对称，则称点对P,Q是函数
的一对“友好点对”（注：点对P,Q与Q,P看作同一对“友好点对”）.已知函数
，则此函数的“友好点对”有

A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)

13．已知函数
的导函数为
，则
▲ ．

14．已知：
，则

▲ ．

15．已知函数
的导数
处取到极大值，则的取值范围是 ▲ ．

16．已知函数
在区间
上是减函数，那么
的最大值为 ▲ ．

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)

17．（本小题满分10分）

已知曲线C：

（Ⅰ）试求曲线C在点
处的切线方程；

（Ⅱ）试求与直线
平行的曲线C的切线方程．

18．（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，且
成等差数列．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
边上中线长的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，

，
为正三角形，

且平面
平面
．

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知曲线C上的动点P（
）满足到定点A(－1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程.

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）试求函数
的递减区间；

（Ⅱ）试求函数
在区间
上的最值．

22．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
且m为常数．

(Ⅰ)试判断当
时函数
在区间
上的单调性，并证明；

(Ⅱ)设函数
在
处取得极值，求m的值，并讨论函数
的单调性．

忻州市2013－2014学年第二学期期中联考

高二数学(理科)参考答案及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

BCABB DBCDD CC

二．填空题(每小题5分，共20分)

13．2 14．2 15．（－1，0） 16．

三．解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)

解：(Ⅰ) ∵
，∴
…………1分

求导数得：
…………2分

∴切线的斜率为
． …………3分

∴所求切线方程为
，即：
…………5分

（Ⅱ）设与直线
平行的切线的切点为
，

则切线的斜率为

又∵所求切线与直线
平行，∴
．

解得：
，代入曲线方程
得：切点为
或

…………8分

∴所求切线方程为：
或

即：
或
…………10分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意得：
…………1分

， …………2分

…………3分

． …………5分

（Ⅱ）设
边上的中点为，

由余弦定理得：
…………7分

，…………11分

当
时取到”=”所以
边上中线长的最小值为
． …………12分

19．(本小题满分12分)

（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接PO，OC，

∵
为正三角形，∴
……2分，

又∵在四边形ABCD中，

，∴BC∥AO,且BC=AO

∴四边形ABCO为平行四边形，∴
……4分，

∴
，∴
……6分

(Ⅱ)(法一)：由（Ⅰ）知
，且平面
平面
∴
平面
，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立如图

所示的直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，
,

∴
，
，
，
，

∴
，
,
,
……8分

设平面APD，平面PDC的法向量分别为

则

∴

∴分别取平面APD，平面PDC的一个法向量
……10分

∴

∴二面角
的余弦值为
……12分

(法一)：由（Ⅰ）知
，且平面
平面
∴
平面
，

过O点作
,垂足为E,连接CE，则
，于是
为所求二面角的一个平面角，设BC=1，则AB=AD=2，,OD=1，OC=2，
，
,

∴
∴二面角
的余弦值为
……12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得|PA|=
|PB| …………2分;

故
…………3分;

化简得：
（或
）即为所求。…………5分;

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

将
代入方程
得
，

所以|MN|=4，满足题意。 …………8分;

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
+2

由圆心到直线的距离
…………10分;

解得
，此时直线
的方程为

综上所述，满足题意的直线
的方程为：
或
。 …………12分.

21．（本小题满分12分）

（I）解：求导数得：
……2分

令
即
得：
……4分

∴函数
在每个区间
上为减函数． ……6分

（Ⅱ）由（I）知，函数
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数， ……8分

∴函数
在
处取极大值
，在
处取极小值
……10分

∵
，
∴函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
． ……12分

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，
，

求导数得：
……２分

∵当
时，
，∴
……４分

∴当
时函数
在区间
上为增函数， ……5分

（Ⅱ）求导数得：
……7分

由
是
的极值点得
，∴
……8分

于是
，定义域为
，
……9分

显然函数
在
上单调递增，且

因此当
时，
；
时，
……11分

所以
在
上单调递减，在
单调递增 ……12分

注：如有其它解法，酌情给分．

高二数学（理科）双向细目表

序号

内 容

选择题

填空题

解答题

小计



1

集合

5





5



2

复数

5





5



3

三角函数



5

12

17



4

定积分

5





5



5

直线与圆的方程





12

12



6

数学归纳法

5





5



7

程序框图

5





5



8

导数及其应用

30

15

34

79



9

立体几何





12

12



10

函数

5











合计

60

20

70

150





说明：

1．第2题是课本选修2－2概念改编（5分）．

2．第3题是课本选修2－2习题改编（5分）．

3．第5题是课本选修2－2习题改编（5分）．

4．第6题课本选修2－2例题改编（5分）．

5．第7题是选修2－2导学方案习题改编（5分）．

6．第9题是课本选修2－2习题改编（5分）

7．第10题是课本选修2－2习题改编（5分）

8．第13题是课本选修2－2习题改编（5分）

9．第14题是课本选修2－2习题改编（5分）

10．第17题是课本选修2－2习题改编（10分）

11．第20题是课本选修2－1习题改编（12分）