满分150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内)

1．设复数

且
，则复数的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下面使用类比推理正确的是 （ ）.

A.“若
,则
”类推出“若
,则
”

B.“若
”类推出“
”

C.“若
” 类推出“
（c≠0）”

D.“
” 类推出“
”

3．过曲线
上的点
的切线平行于直线
，则切点
的坐标为（ ）

A．（0，-1）或（1，0） B．（1，0）或（-1，-4）

C．（0，-2）或（-1，-4） D．（2，8）或（1，0）

4． 2014年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。公司规定：凡卡号的后四位带数字“5”或“8”的一律作为“金马卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金马卡”的个数为（ ）

A．2000 B．4096 C．5904 D．8320

5．曲线y=sinx，x∈[0,2π]与坐标轴围成的面积（ ）

A. ４ B.３ C.２ D. ０

6．已知直线L的参数方程为
（t为参数 ），则直线的倾斜角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设随机变量x服从B（6，
），则P（x=3）的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知分段函数
，则
等于（　　）

A．
B．
C．
D．

９．对于实数x,y,若
,则
的最大值为（　　）

A．４ B．６ C．８ D．１０

10．函数
，当
时，
恒成立, 则
　的最大值与最小值之和为（　　）

A．18 B．16 C．14 D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：每小题5分，共25分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．

11．复数
为纯虚数则m＝ ．

12．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=
， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 ．

13．已知
则

．

14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率 .

15．选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（A）题得分）

（A）在极坐标系中，曲线
，曲线
，若曲线C1与C2交于
两点，则线段
的长度为 ．

（B）若不等式
恒成立，则的取值范围为 ．

三、解答题：共75分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分．

16．（本题满分12分）

6个人坐在一排10个座位上，则（用数字表示）

１）空位不相邻的坐法有多少种？

２）４个空位只有３个相邻的坐法有多少种？

３）４个空位至多有２个相邻的坐法有多少种？

17．（本题满分12分）

已知m,n是正整数，
的展开式中x的系数为7，

求
展开式中
的系数的最小值，并求这时
的近似值（精确到0.01）．

19．（本题满分12分） ．

某中学有A、B、C、D、E五名同学在高三“一检”中的名次依次为1，2，3，4，5名，“二检”中的前5名依然是这五名同学。

（1）求恰好有两名同学排名不变的概率；

（2）如果设同学排名不变的同学人数为
，求
的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（1）当
且
，
时，试用含的式子表示
，并讨论
的单调区间；

（2）若
有零点，
，且对函数定义域内一切满足
的实数有
．

①求
的表达式；

②当
时，求函数
的图象与函数
的图象的交点坐标．

21．（本题满分14分）

已知曲线C１的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线Ｃ2的参数方程是：
是参数).

（1）将曲线C1和曲线Ｃ２的方程转化为普通方程；

（2）若曲线C1与曲线C2相交于A、B两点，求证
；

(3)设直线
交于两点
，且
，过弦PQ的中点Ｍ作平行于x轴的直线交曲线Ｃ２于

点Ｄ，求证：
的面积是定值．

高二下期中考试数学（理科）参考答案

三、解答题：共75分．

16．解:由已知可得
：则展开式中
的 系数为

的系数最小为
．

这时
，

17．解：1）
．

２）
．

３）
．

18．解：１）由均值不等式
，
．

２）由柯西不等式
，
，

结论推广为：
．

19．解：（1）第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数为：
（种）

第二次排名情况总数为：A

所以恰好有两名同学排名不变的概率为

（2）第二次同学排名不变的同学人数
可能的取值为：5，3，2，1，0

X分布列为

X

0

1

2

3

5



p













X的数学期望EX=

………………12分

20．解：（1）

………………2分

由
，故

时 由
得
的单调增区间是
，

由
得
单调减区间是

同理
时，
的单调增区间
，
，单调减区间为
…………5分

（2）①由（1）及
（i）

又由

有
知
的零点在
内，设
，

则
，结合（i）解得
，
………………8分

∴
………………9分

②又设
，先求
与轴在
的交点

∵
， 由
得

故
，
在
单调递增

又
，故
与轴有唯一交点

即
与
的图象在区间
上的唯一交点坐标为
为所求 …………13分

2１．解：1)
；

２）
，联立方程并消元得：

，
．

．

３）
，消x得
，
，

由
，得
，