一、选择题（每小题5分，共50分）

1.若直线
不平行于平面，且
，则（ ）

A.内的所有直线与
异面 B.内的不存在与
平行的直线

C.内的存在唯一的直线与
平行 D.内的直线与
都相交

2. 设
是三条不同的直线，
是两个不同的平面，则
的一个充分条件是（ ）

A.
B.

C.

D.

3.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，
是展开图上的三点，

则在正方体盒子中，
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点
共面，点
共面，则点
共面；

③若直线
共面，直线
共面，则直线
共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面. 命题正确的个数为（ ）

A.
B. C. D.

5.下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ）

A.①② B. ①③ C. ③④ D. ②④

6.已知平面内有一点
，平面的一个法向量为
，则下列点中，

在平面内的是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.如图，正方体
的棱长为1，
是底面
的中心，

则点
到平面
的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.如图是正方体或正四面体，
分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）

A. B. C. D.

9.在棱长为4的正方体
中，，分别是
、
的

中点，长为2的线段
的一个端点
在线段
上运动，另一个端点

在底面
上运动，则线段
的中点的轨迹（曲面）与二面角

所围成的几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.如图所示，在多面体
中，已知
是边长为1的正方形，且
均为正三角形，
，则该多面体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.设
，
，且
，则
.

12.某几何体的三视图如下图所示，若该几何体的各顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积

为 .

13.如下图，在三棱柱
中，侧棱
与侧面
的距离为2，侧面
的面积为4，

此三棱柱
的体积为 .

14.在平行四边形
中，
，
，把
沿着对角线
折起，使
与
成
角，则
.

15.教室中用两根细绳悬吊的日光灯管如下图所示，若将它绕中轴线扭转
，灯管将上升 厘米.

三、解答题（共75分）

16.（12分）长方体
中，
，
，
分别是
和
的中点，求
与
所成角的余弦值.

17.（12分）如图所示，四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为
，设
，

.

(1)求
的长；

(2)求
与
所成角的余弦值.

18. (12分）如图：在直三棱柱
中，
，
，D为
的中点

(1)求证：
平面
；

(2)求二面角
的正弦值的大小.

19.（12分）如图，在三棱柱
中，
.

(1)证明：
；

(2)若平面
平面
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20.（13分）如图所示，四棱锥
的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的
倍，为侧棱
上的点.

(1)求证：
；

(2)若
平面
，则侧棱
上是否存在一点，使得
平面
.

若存在，求
的值；若不存在，试说明理由.

21.（14分）如图，在三棱柱
中，
，顶点
在底面
上的射影恰为点，且
.

(1)证明：平面
平面
；

(2)求棱
与
所成角的大小；

(3)若点为
的中点，求二面角
的平面角的余弦值.

高二年级联考数学理科试卷答案(2014.4)

一、1~10 B、C、C、B、D、 A、B、D、D、A

二、11.
12.
13. 14.
15.

三、16.解：如图建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
…………………4分

∴
，
?， ……………………………6分

∴
……………10分

∴
与
所成角的余弦值为
…………………12分

17. (1)解：由已知得，
，
，
，
…………………3分

又

. ………………6分

(2)解：∵
，
． ………………8分

． ………………12分

18. (1)证明：连接
交
于，为
的中点， ………………2分

连接
，由D为
的中点，
为
的中位线，

， ………………4分

由在平面
内，
在平面
外，

平面
…………6分

(2)解：由
易知
为正方形，

，令
，

则点到面
的距离
，且
， ……………10分

若二面角
的平面角为，则
. ……………12分

19. (1)证明：据题意可知底面
为一个角是
的菱形，取
的中点
，连接
，

，而
，
面
，
……………6分

(2) ∵平面
平面
，
，
面
，且
为正

如右图建立空间直角坐标系，令
，则

，
， ……………8分

可得平面
的一个法向量为
， …10分

又
，令线面角为

………………12分

20.(1)证明：据题意可知四棱锥为正四棱锥，连接
交
于
………………2分

面
，且
，

为
在底面
内的射影， …………………4分

由三垂线定理，可得
……………6分

(2)解：如图建立空间直角坐标系，令
，则
，

，
，
，

，

令
，

…………9分

由
平面
知
为平面
的一个法向量，

平面

， ……………11分

为
靠近
点的三等分点，即
………13分

21.(1)解：
面
，
，又

面

平面
平面
…………4分

(2)解：如图建立空间直角坐标系，
，
，
，

，

与
所成角为
…………9分

(3)解：
，

令

，

，

可得面
的一个法向量为
，