2013—2014学年度第二学期南昌市期中形成性测试卷

高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

A

C

B

A

D

C

D



二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）

11.  12. 2+ 13. 10cm 14.
15. ①③④
② 或 ①②④
③

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解：（1）∵
是PC的中点，∴

………………………………………………………………4分

（2）

.………………………………………………………………8分

17．解：（1）如图所示：
.

∴
， ∴
．

与
夹角的余弦值
． ………………………………………………………………4分

（2）设平面
的法向量
，∵
，

∴
.∴
，即
， ∴
. …………7分

又∵
，∴

∴求
与平面
夹角的正弦值为
；…………………10分

18．解：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．……………………………………………3分

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；……………………5分

（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=
×
×1×1=
，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．……………………………………………10分

19.解： （1）
，
，
．

又
，
．
，

平面
．
平面
，

．………………………………………………5分

（2）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．

则
．设
．

，
，
．………………7分

取
中点，连结
．
，
，

，
．

是二面角
的平面角………………………………………………9分．

，
，
，

………………………………………………10分

20.解：由已知可得AB⊥平面BB1C1C，由于三棱锥B－ACD是正三棱锥，所以CD?平面BB1C1C，D，B，B1三点共线，AB＝BC＝BD.

设AB＝a，BB1＝b.则其正视图和俯视图的面积都是ab＋a2，侧视图的面积是a2，

根据已知解得a＝， b＝2. ……………………………………3分

以点B为坐标原点，射线BC，BB1，BA分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0，)，C(，0,0)，D(0，－，0)，B1(0,2,0)，C1(，2,0)，A1(0,2，)．

由于三棱锥B－ACD是正三棱锥，该三棱锥的重心G，则BG⊥平面ACD，

故可取向量n＝(1，－1,1)为平面ACD的一个法向量，＝(－，2，)，

故可取v＝(1，－，－1)为直线CA1的一个方向向量．

设直线CA1与平面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，v〉|＝＝＝.………6分

(2)设＝m＝(m,2m，－m)，则＝＋＝(m,2m－2，－m)，

如果B1P⊥平面ACD，则∥n，即(m,2m－2，－m)＝(λ，－λ，λ)，…………7分

由此得方程组

由①③得m＝，λ＝，代入②则－1＝－，矛盾，…………11分

这说明不存在满足题目要求的点P.………………………………………………………………12分