鱼台二中2013—2014学年高二3月质量检测

数学（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1．设

则
(　　)

A. B. C. D．不存在

2.已知命题：
，则
是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )

A. B. C. D.

4．函数
有( )

A．极大值
，极小值
B．极大值
，极小值

C．极大值
，无极小值 D．极小值
，无极大值

5．函数
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数
，如果
，那么
是函数
的极值点；因为函数
在
处的导数值
，所以x=0是函数
的极值点.”以上推理中（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．结论正确

7. 双曲线
-
=1的焦点坐标为 （ ）

A. （
） （
） B. （
） （
）

C. （-5,0） （5,0） D. （0，-5） （0,5）

8. 若椭圆
+
=1与双曲线
-
=1有相同的焦点，则a的值是（ ）

A.
B. 1或-2 C. 1或
D. 1

9．已知f(x)＝x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(　　)

A．仅有最小值的奇函数

B．既有最大值，又有最小值的偶函数

C．仅有最大值的偶函数

D．既有最大值，又有最小值的奇函数

10．若
在
上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

二、填空题（每小题5分，共20分.把所得到的结果直接填在横线上）

13.函数
的单调递增区间是___________________________。

14.由曲线y
和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________;

15．已知
不等式
，
，
，…，可推广为
，则a等于 .

16.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：

(1)f(x)在(－3,1)上是增函数；

(2)x＝－1是f(x)的极小值点；

(3)f(x)在(2,4)上是减函数，

在(－1,2)上是增函数；

(4)x＝2是f(x)的极小值点；

以上正确的序号为________．

三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤）

17. （本小题满分10分）

已知函数f(x)＝x2＋ln x.

(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

18．（本小题满分12分）

已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值与函数
的单调区间

(2)若对
，不等式
恒成立，求的取值范围。

19．（本小题满分12分）

设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0

(1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求b的值．

20．（本小题满分12分）

某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：

；

；

；

．　

请你观察这四个不等式：

（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；

（2）证明你的结论。

21．（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝x2＋ln x.

(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

22．（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
在区间[1，e]上的最小值；

（2）设
，其中
，判断方程
在区间[1，e]上的解的个数.

（其中为无理数，约等于
且有
）

参考答案：

1-5 CADCA 6-10 AADDC 11-12 CA

13.
14.
15.
16.②

17. 解(1)　∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.

∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.

(2)证明　令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋ln x，

则F′(x)＝x－2x2＋＝

＝＝.

∵x＞1，∴F′(x)＜0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数．

∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0，即f(x)＜g(x)．

∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．

18．（1）

由
，
得

，函数
的单调区间如下表：





























(

极大值

(

极小值

(



所以函数
的递增区间是
与
,递减区间是
；

（2）
，当
时，

为极大值，而
，则
为最大值，要使

恒成立，则只需要
，得

19．(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.

则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，

解得b＝.

20． （1）一般性的结论：
（4分（没写范围扣1分）

（2）证明：要证

只要证

只要证

只要证

∵a、b、c、d∈R，∴
显然成立.

∴原命题得证

21.：(1)∵f(x)＝x2＋ln x

∴f′(x)＝2x＋

∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，

最大值是f(e)＝1＋e2

(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)

＝x2－x3＋ln x，

∴F′(x)＝x－2x2＋＝

＝＝

∵x＞1，∴F′(x)＜0，

∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数

∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0.即f(x)＜g(x)．

∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．

22.（1）由



=0，得
，

①当
时，
，所以故
在
上是增函数，所以
；

②当
时，
时，
；
时，
，

所以，
在
上是减函数，在
上是增函数，故
；

③当
时，
，所以
在
上是减函数，故
．

综上所述：
时，
；

时，
；

时，
．

（2）令

　　
．

　　由



=0，解得;
，

由
，　知
．

故当
时，
，则
在
上是增函数．

又
；


，

由已知
>0得：
，所以
，所以

故函数
在
上有唯一的零点，即方程
在区间
上存在唯一解.