高中二年级期中质量调研考试试题

理科数学 2014.04

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；

2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.

4．在盒子中装有2个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，第三次恰好将白球取完的概率为

A．
　　　　　B．
　　　　　C．
　　　　 　D．

5．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P (2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于

A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5

6．下面给出了关于复数的三种类比推理：

①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；

②由向量
的性质
可以类比复数的性质
；

③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．

其中类比错误的是

A．①③ B．①② C．② D．③

7．设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则函数
有下列结论中一定成立的是

A．
有极大值
和极小值

B．
有极大值
和极小值

C．
有极大值
和极小值

D．
有极大值
和极小值

8．在
中，若
，则自然数n的值是

A．7 B．8 C．9 D．10

9.由直线
及曲线
所围成的封闭的图形的面积为

A.
B.
C.
D.

10.设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
，则实数的取值范围是

A.
　 　B.
　 　 C.
　　 　 D.

数学（理科 ） 2014.04

第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上

11. 已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
的值等于 ．

12. 对任意实数，有
，

则
的值为 ．

13.设函数
，观察：
，
，
，
，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当
且
时，
．

14．有
个座位连成一排，
人就坐，要求恰有两个空位相邻，则不同的坐法有 种（用数字作答）．

15.记定义在R上的函数
的导函数为
．如果存在
，使得
成立，则称
为函数
在区间
上的“中值点”．那么函数
在区间
上的“中值点”为____　　．

三、解答题：本大题共6个小题.满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤

16. （本小题满分12分）

已知复数
满足
（为虚数单位），复数
的虚部为，

是实数，求
.

17.（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

罗庄区2014年3月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；

（Ⅱ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布列及期望．

18．（本小题满分12分）

数列
满足

．

（Ⅰ）计算
，并由此猜想通项公式
；

（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

19．（本小题满分12分）

为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为、、
、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为
.这三项测试能否通过相互之间没有影响．

（Ⅰ）求能够入选的概率；

（II）规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．

20.（本小题满分13分）

工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系
（为常数，且
），已知每生产一件合格产品盈利
元，每出现一件次品亏损
元.

（Ⅰ）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；

（Ⅱ）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：
）

21.（本小题满分14分）

已知函数
，（为常数，为自然对数的底）．

（Ⅰ）当
时，求
；

（Ⅱ）若
在
时取得极小值，试确定的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由
的极大值构成的函数为
，将换元为，试判断曲线
是否能与直线
（为确定的常数）相切，并说明理由．

17.解：（Ⅰ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件A,
.…………………………………………………4分

（Ⅱ）
的可能值为
，…………………………………………………5分

………………………9分

其分布列为：

























………………………………………12分

18.解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，………………………………2 分

由此猜想
(n∈N*)．……………………………………………4 分

(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．

假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，…………………………………6 分

即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.

∴
，…………………………………………………………9 分

∴ak＋1＝＝＝，………………………………………11 分

这表明n＝k＋1时，结论成立．

∴an＝(n∈N*)．………………………………………………………12 分

19．解：（I）设A通过体能、射击、反应分别记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：

.………4分

（Ⅱ）记
表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为
，又
可能的取值为0，1， 2，3，4.

，
，

，
，

0

3000

6000

9000

12000



P














.………………………………………………9分

∴训练经费
的分布列为：



3000

6000

9000

12000



















………12分

20.解：（Ⅰ）当
时，
，日盈利
.……2分

当
时，
，

日盈利
.………………………5分

∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为

.……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，日盈利额为0. 当
时，

，
，…8分

令
得
或
（舍去）

①当
时，
，
在区间
上单调递增，

，此时
；………………………………………10分

②当
时，在（0，3）上，
，在（3，4.5）上
，

∴
.……………………………………………………………………12分

综上：当
时，日产量为万件日盈利额最大，

当
时，日产量为3万件时日盈利额最大 .………………………13分

21.解：（Ⅰ）当
时，
．
．

所以
．……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）

．……………………………………………………………4分

令
，得
或
．

当
，即
时，

恒成立，

此时
在区间
上单调递减，没有极小值；……………………6分

当
，即
时，

若
，则
．若
，则
．

所以
是函数
的极小值点．…………………………………………7分

当
，即
时，

若
，则
．若
，则
．

此时
是函数
的极大值点．…………………………………………8分

综上所述，使函数
在
时取得极小值的的取值范围是
．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当
，且
时，
，

因此
是
的极大值点，极大值为
．………9分

所以
．
．

令
．…………………………………………………10分

则
恒成立，即
在区间
上是增函数．

所以当
时，
，即恒有
．………12分

又直线
的斜率为
，

所以曲线
不能与直线
相切．……………………14分