黄山市田家炳实验中学2013-2014学年度下学期高二文科数学期中考试试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．若命题p：x∈A∩B，则﹃p是(　　)

A．x∈A且x?B　 B．x?A或x?B C．x?A且x?B D．x∈A∪B

2．曲线
在点P（1，12）处的切线与x轴交点的横坐标是

A．-9 B．-3 C．9 D．15

3．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为(　　)

A．－3 B．3 C．－8 D．8

4．已知复数
，则1+Z+Z2+.....+Z2014为（ ）

A．
B．
C． D．

5．已知a ,b ,m∈R ，则下面推理中正确的是（ ）

A．a>b
B．

C．
D.

6．对于四个命题p，q，r，m ：已知p是q的只充分条件，r是q的只必要条件，p是r的充要条件，r是m的只充分条件，则m是q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．已知x与y之间的一组数据如右表，则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（　　　）

A. (2, 2) B.(1, 2) C. (1.5, 0) D. (1.5 , 5)

8．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 (　　)

A.{a|a≤－2或a＝1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤－2或1≤a≤2} D.{a|－2≤a≤1}

9．函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示，则函数
在开区间
内有极小值点 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

10．若函数
在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1)内不是单调函数，则实数K 的取值范围是（ ）

A.
B.
C.［1，2） D.［1，
）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．若关于x的实系数一元二次方程
有一个根为
，则
________

12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把
名使用血清的人与另外
名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0： “这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用
列联表计算得
，经查对临界值表
．对此，四名同学做出了以下的判断：

：有
的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

：若某人未使用该血清，那么他在一年中有
的可能性得感冒

：这种血清预防感冒的有效率为

：这种血清预防感冒的有效率为

则下列结论中，正确结论的序号是

①
； ②
； ③
； ④

13．已知不论a为何正实数，y＝ax＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．

14．设函数
,观察：



……根据以上事实，由归纳推理可得：

当
且
时，
.

15．已知点
与点
在直线
的两侧，则下列说法：

①
； ②
时，
有最小值，无最大值；

③
恒成立；

④ 当

,
, 则
的取值范围为（-
；

其中正确的命题是 （填上正确命题的序号）．

答题卷

总分：————————

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11. ； 12. ；

13. ； 14. ；

15.

三．解答题：

16．(12分) 已知
均为实数，且
，

求证：
中至少有一个大于
。

17．（12分）已知集合A＝｛x∈R｜x2－2x－8＝0｝，B＝｛x∈R｜x2＋ax＋a2－12＝0｝，
，求实数a的取值集合．

18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验如下：

零件的个数（个）

2

3

4

5



加工的时间（小时）

2.5

3

4

4.5



（1）在给定坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求关于的线性回归方程
；

（3）试预测加工10个零件需要多少时间？

（
，
）

19．（12分）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中
分别是
的中点，
是
上的一动点.

（1）求证：

（2）当
时，在棱
上确定一点，使得
//平面
，并给出证明.

20．（13分）已知直线
与圆
交于不同点An、Bn,其中数列
满足：
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
求数列
的前n项和
.

21．（14分）已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.

(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；

(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；

(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．A 10．D

11．0 12．①④ 13． (－1，－1)．

14．
15．③④

16．【解析】利用反证法的思想进行证明即可。首先否定结论假设a,b,c都不大于0然后在假设的前提下，即
，得
，而
，即
，与
矛盾从而得到矛盾，假设不成立。

17．A＝｛－2，4｝，∵BA，∴B＝
，｛－2｝，｛4｝，｛－2，4｝

若B＝
，则a2－4(a2－12)＜0，a2＞16，a＞4或a＜－4

若B＝｛－2｝，则(－2)2－2a＋a2－12＝0且Δ=a2－4(a2－12)=0，解得a=4.

若B＝｛4｝，则42＋4a＋a2－12＝0且Δ=a2－4(a2－12)=0，此时a无解；

若B＝｛－2，4｝，则

∴a＝－2

综上知，所求实数a的集合为｛a｜a＜－4或a＝－2或a≥4｝

18．.（1）散点图（略） （2） ∴回归直线方程：

(3)当
预测加工10个零件需要8.05小时。

【解析】第一问中，利用表格中的数据先作出散点图

第二问中，求解均值a,b的值，从而得到线性回归方程。

第三问，利用回归方程将x=10代入方程中，得到y的预测值。

解：（1）散点图（略） (2分)

（2）

（4分）

∴
(7分)

(8分)∴回归直线方程：
(9分)

(3)当
∴预测加工10个零件需要8.05小时。

19．由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC

(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN

又FD⊥AD FD⊥CD， FD⊥面ABCD

FD⊥ACAC⊥面FDN
GN⊥AC

（2）点P在A点处

证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA

G是DF的中点， GS//FC,AS//CM面GSA//面FM ，

GA//面FMC 即GP//面FMC

20．解：（1）圆心到直线的距离
，

（2）

相减得

21．(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋(x＞0)．

当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.(2分)

f(x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

x







2

(2，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



F(x)

单调

递增

极大

值

单调

递减

极小

值

单调

递增



所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1，3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.(5分)

(2)令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)

因为Δ＝(m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．

因为m≥1，所以，(8分)

所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．

故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．(10分)

(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．

显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，

则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.

当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．(12分)

当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0，1)，易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．

所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．

综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．(14分)