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| 简介：
吉林省实验中学 2013—2014学年度教学质量阶段检测与评估（一） 高二数学理试题 命题人：高立东 审题人：迟禹才 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （1）函数的导数是 （A） （B） （C） （D） （2）某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的速度是 （A）14 （B）4 （C）10 （D）6 （3）已知f (x)的定义域为R，f (x)的导函数的图象如图所示，则 （A）f (x)在x＝1处取得极小值 （B）f (x)在x＝1处取得极大值 （C）f (x)是R上的增函数 （D）f (x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 （4）已知则 （A） （B） （C） （D） （5）若x≠0，则下列不等式成立的是 （A）ex＞1＋x （B）当x＞0时，ex＜1＋x，当x＜0时，ex＞1＋x （C）ex＜1＋x （D）当x＜0时，ex＜1＋x，当x＞0时，ex＞1＋x （6）等于 （A）π （B）2 （C）π－2 （D）π＋2 （7）函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 （A）(1，4) （B）(0，3) （C）(2，＋∞) （D）(－∞，2) （8）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （A） （B） （C） （D） （9）现要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为l，要使其体积最大，高应为 （A） （B） （C） （D） （10）点P在曲线上移动，设动点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （11）若函数在内有极大值，在内有极小值，则实数a的取值范围是 （A） （B） （C）或 （D） （12）已知函数满足，且，则不等式的解集是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) （13）已知数列的前n项和为，，满足，猜想的表达式为 ． （14） ． （15）过点作曲线的切线，切线的方程为 ． （16）已知函数，若函数在上单调递减，则 的最小值为 ． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分） 求曲线与直线，所围成的图形的面积。 （18）（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求f (x)的单调区间； （Ⅱ）求f (x)的极值与最值． （19）（本小题满分12分） 已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． （Ⅰ）若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值； （Ⅱ）若函数f (x)在区间 (－1，1)上不单调，求a的取值范围． （20）（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数在处取得极值，且不等式恒成立，求实数b的取值范围. （21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． （22）（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）若函数依次在处取到极值． ①求的取值范围； ②若，求的值． （Ⅱ）若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值． 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C D A D C B B D A D 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) （13） （14） （15）3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 （16） 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）解：由得交点坐标，由得交点坐标，…2分 所求面积S为 …………………6分 …………………10分 （18）解： (1)， 令得， …………………3分 列表： x [－2，－1) (－1，3) (3，5) f′(x) ＋ － ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ 由上表知：f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(3，5)；单调递减区间为(－1，3)． …………………7分 (2)由(1)知：f (x)的极大值是f (－1)＝3， f (x)的极小值是f (3)＝－61； f(－2)＝－11，f(5)＝3， ∴f(x)min＝f(3)＝－61， f(x)max＝f(5)＝3． …………………12分 （19）解： （Ⅰ）由函数f(x)的图象过原点，得b＝0， 又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，f(x)在原点处的切线斜率是－3， 则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3，或a＝1. ……………4分 （Ⅱ）由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.又f(x)在(－1,1)上不单调，即 或解得或 所以a的取值范围是∪ ……………12分 （20）解： （Ⅰ）， 当时，在上恒成立，函数在单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，得，得， ……………3分 ∴在上单调递减，在上单调递增，即在处有极小值， ∴当时，在上没有极值点， 当时，在有一个极值点， ……………6分 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴， ∴， ……8分 令，可得在上递减，在上递增， ……10分 ∴，即． ……12分 （21）解： （Ⅰ）∵f(x)＝ln(x＋a)－x2－x，∴f′(x)＝－2x－1. 又∵f′(0)＝0即－1＝0，∴a＝1. ……………3分 （Ⅱ）由f(x)＝－x＋b得，ln(x＋a)－x2＋x－b＝0，即ln(x＋1)－x2＋x－b＝0. ……………5分 设g(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－b，则g′(x)＝－2x＋， 即g′(x)＝. 当x∈[0,1)时，g′(x)＞0，g(x)在[0,1)内单调递增； 当x∈(1,2]时，g′(x)＜0，g(x)在(1,2]内单调递减． ………9分 又∵f(x)＝－x＋b在[0,2]上恰有两个不同的实数根，等价于g(x)＝0在[0,2]上恰有两个不同的实数根， ∴即 ………11分 故ln3－1≤b＜ln2＋. ………12分 （22）解： （Ⅰ）① ∵有3个极值点，∴有三个根 令， 则在上递增，上递减 又有3个零点，所以，得 …………………2分 ②∵是的三个极值点 ∴ ∴， ∴或（舍去，因为） ∴, ∴ …………………5分 （Ⅱ）不等式,即,即. 转化为存在实数,使对任意的, 不等式恒成立. 即不等式在上恒成立. 即不等式在上恒成立. 设，则. 设，则, 因为,有，故在区间上是减函数. …………………8分 又 故存在,使得. 当时，有,当时,有. 从而在区间上递增,在区间上递减. …………………10分 又，，，， ， 所以当时,恒有；当时,恒有， 故使命题成立的正整数的最大值为5. …………………12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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