第一部分（共5 0分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1.设函数
图象上一点
及邻近一点
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为( )

A．3 B．2 C．1 D．

3．用反证法证明命题：设x、y、z∈R＋，a＝x＋
，b＝y＋
，c＝z＋
，则a、b、c三个数至少有一个不小于2，下列假设中正确的是（ ）

A．假设
三个数至少有一个不大于2

B．假设
三个数都不小于2

C．假设
三个数至多有一个不大于2

D．假设
三个数都小于2

4．下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．
与
大小关系是（ ）

A．
B．

C．
D．无法判断

6. 函数
的图象如下左图所示，则导函数
的图象大致是 ( )

7. 函数
在
处有极值10，则m，n的值是（ ）

A.
B.

C.
D.

8．
个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑

9． 已知
（
为常数）在
上有最小值
，那么此函数在
上的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
是定义在
上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式
的解集是（ ）

A．
B．

C．
D．

第二部分（共1 0 0分）

二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______.

12．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是 　　　　　 ．

13．若三角形内切圆的半径为
，三边长为
，则三角形的面积等于
，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为
，四个面的面积分别是
，则四面体的体积
_____________.

14、若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k 的取值范围是_____________.

15.右图是函数
的导函数
的图象，给出下列命题：

①
是函数
的极值点；

②
是函数
的最小值点；

③
在
处切线的斜率小于零；

④
在区间
上单调递增. 则正确命题的序号是

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16.（本小题满分12分）

已知两正数a，b满足
，求证：

17、（本小题满分12分）

已知函数
，求函数
的单调区间和极值。

18. （本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）过点
能作几条直线与曲线
相切？说明理由.

19 （本小题满分12分）

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

21.（本题满分14分）

设数列
满足
。

（1）当
时，求
，并由此猜想出
的一个通项公式；

（2）当
时，证明对所有
，有

①

②

参考答案

……………………………………………（10分）

当且仅当
时取等号，此时
………………………………………（12分）

18.解（1）
，由题知…………………………………………………（1分）

∴
…………………………………………………………………………（5分）

（2）设过点（2,2）的直线与曲线
相切于点
，则切线方程为：

即
……………………………………………………………………（7分）

由切线过点（2,2）得：

过点（2,2）可作曲线
的切线条数就是方程
的实根个数……（9分）

令
，则

由
得

当t变化时，
、
的变化如下表

t



0

(0,2)

2







+

0

-

0

+





↗

极大值2

↘

极小值-2

↗



由
知，故
有三个不同实根

故可作三条切线………………（12分）

19解：设容器底面短边长为
m，则另一边长为
m，高为

．

由
和
，得
，

设容器的容积为
，则有

．

即
，

令
，有
，

即
，解得
，
（不合题意，舍去）.

当x＝1时，y取得最大值，即
，

这时，高为
.

答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为
．………………12分

20解：
…………………..2分

（1）由已知，得
上恒成立，

即
上恒成立

又
当

…………………..6分

（2）当
时，

在（1，2）上恒成立， 这时
在[1，2]上为增函数

当

在（1，2）上恒成立，这时
在[1，2]上为减函数

当
时，令

又

综上，
在[1，2]上的最小值为

①当

②当
时，

③当
…………………..13分

21、（1）由
，得

由
，得

由
，得
，由此，猜想
的一个通项公式：

（2） ①用数学归纳法证明：

（ⅰ）当
时，
，不等式成立；

（ⅱ）假设当
时，不等式成立，即
，那么

，

也就是说，当
时，

综合（ⅰ）、（ⅱ），对于所有
，有

②由
及①，对
，有

，…，

，于是