广饶一中2013-2014学年高二上学期期末测试

数学试题(理A)

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．

1.抛物线
的焦点坐标为（ ）

A.（0，
） B.（
，0） C.（0,
4） D.（0, 2）

2.若平面
、
的法向量分别为
，则 ( )

A.

B.
C.
、
相交但不垂直 D. 以上均不正确

3.已知命题：
：
，则
为（　 　）

A.
B.
C.
D.

4.如图，在平行六面体
中，
为
与
的交点． 若
，
，

则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A.
B.

C.
D.

5.命题“若
，则
是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）

A． 0 B ． 3 C ． 2 D． 1

6．设变量
、
满足约束条件
则目标函数
的最小值是（ ）

A．－7 B．－4 C．1 D．2

7．如果方程
表示双曲线，那么实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
或
C.
D.
或

8．已知
,则下列推证中正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

9．设等比数列
的公比为
,前
项和为
,且
.若
,则
的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．

10．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C

的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（ ）

A. 北偏东100 B. 北偏西100 C. 南偏东100
D. 南偏西100

11．下列命题错误的是(　 　)

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”

B．若命题
：
，则
为：

C．若
为假命题，则
，
均为假命题

D．“
”是“
”的充分不必要条件

12．若
是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
或
D．

二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分．

13．若空间向量
满足：
，
，则
.

14. 已知点
，
，若动点
满足
，则点
的轨迹方程为________ .

15．若“
”为假命题，则实数
的取值范围 .[来源:学科网]

16．给出下列命题：

（1）设
、
为两个定点，
为非零常数，
，则动点
的轨迹为双曲线；

（2）若等比数列的前
项和
，则必有
；

（3）若
的最小值为2；

（4）曲线
与曲线
（
且
）有相同的焦点；

（5）平面内到定点
的距离等于到定直线
的距离的点的轨迹是抛物线.

其中正确命题的序号是 .

三、解答题：共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本题满分12分)命题
：实数
满足
，其中
，命题
：实数
满足

或
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围.

18.（本题满分12分）在
中，
分别是角
的对边，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的面积.

19.(本题满分12分)已知数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意的
满足关系式

.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
的通项公式是
，前
项和为
，

求证：对于任意的正数
，总有
.

20．（本题满分12分）据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本
（万元）可以看成月产量
（吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.

（1）写出月总成本
（万元）关于月产量
（吨）的函数关系；

（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；

（3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？

21.（本题满分12分）在四棱锥
中，
//
，
，
，
平面
，
.

（1）求证：
平面
；

（2）求异
面直线
与
所成角的余弦值；

（3）设点
为线段
上一点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

22．（本题满分1
4分）已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为(
，0)．

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 过原点
作两条互相垂直的射线，与椭圆交于
，
两点，求证：点
到直线
的距离为定值；

(3) 在（2）的条件下，求
面积的最大值．

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

广饶一中2013-2014学年高二上学期期末

数学试题(理A) 评分标准

一、选择题：

DACAC ABCBB CC

二、填空题：

13.
　 　14.
　　15.
　　 16. （２）（４）

17．解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，……………………………2分

B＝{x|
x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}

＝{x|x2－x－6＜0}∪{x
|x2＋2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}. …………………5分

因为
p是
q的必要不充分条件，

所以
推不出p，由
得 ……………………………8分

或
…………………………10分

即－≤a＜0或a≤－4. ……………………………12分

18．解：（1）法一：由正弦定理
得………………………1分

将上式代入已知
…………………3分

即

即

∵
………5分

∵
∵B为三角形的内角，∴
. ………6分

法二：由余弦定理相应给分

（2）将
代入余弦定理
…7分

，

∴

……………………………10分

∴
. ……………………………12分

19.(1)解 由已知得 (n≥2)． ……………………………2分

故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)．

故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. ……………………………4分

又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n. ……………………………6分

(2)证明　∵bn＝＝－. ……………………………8分

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＋＋…＋ …………………………10分

＝1－<1. ……………………………12分

20.解：（1）
（
） ……………………………2分

将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得

（
） ……………………………4分

（2）设最大利
润为
则

……6分

因为
，所以月产量为23吨时，

可获最大利润12.9万元. ……………………………8分

（3）
……………………10分

当且仅当
，即
时上式“=”成立. …………………11分

故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. ……………12分

21．（1）证明：
因为，
，所以以
为坐标原点，
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，　　　　　　……………………………１分[来源:学#科#网]

则
，
，
，

.

所以
，
，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

，　　　　　　　　　　　　　　　……………………………２分

所以
，

.

所以
，
.

因为
，
平面
，

平面
，

所以
平面
. ………………………４分

（2）
，
……５分

异成直线
与
所成角的余弦值
………8分

（3）解：设
（
其中
），
，直线
与平面
所成角为
.

所以
.所以
.

所以
即
. 　　　　 ……………………………９分

所以
.

平面
的一个法向量为