广饶一中2013-2014学年高二上学期期末

数学试题(文A)

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．

1．抛物线
的焦点坐标为（ ）

A.（0，
） B.（
，0） C.（0, 4） D.（0, 2）

2．下列求导运算正确的是（　　）

A.
B.
C.
D.

3．己知函数
，其导数
的图象如图所示，则函数
的极大值是（　　）

A.
B.
C.
D.
[来源:Zxxk.Com]

4．已知命题：
：
，则
为（　　）

A.
B.
C.
D.

5．命题“若
，则
是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，

真命题的个数是（ ）

A． 0 B ． 3 C ． 2 D． 1

6．设变量
、
满足约束条件
则目标函数
的最小值是（ ）

A．－7 B．－4 C．1 D．2

7．如果方程
表示双曲线，那么实数
的取值范围是（ ）[来源:学*科*网Z*X*X*K]

A.
B.
或
C.
D.
或

8．已知
,则下列推证中正确的是（ ）

A.
B.
[来源:Zxxk.Com]

C.
D.

9．设
等比数列
的公比为
,前
项和为
,且
.若
,则
的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．

10.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C

的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（ ）

A. 北偏东100 B. 北偏西100 C. 南偏东100 D. 南偏西100

11．已知不等式
的解集为
,则不等式
的解集为( )

A．
B．

C．
D．

12．已知
是奇函数，当
时，
，当
时，
的最小值为1，则
的值等于（　　）

A．

B．
C．
D．

二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知双曲线
的一条渐近线的方程为
，则
＝_____ __；

14．设函数
的导数为
,且
,则
的值是 ；

15．右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米；

16．给出下列命题：

（1）导数
是
在
处取得极值的既不充分也不必要条件；

（2）若等比数列的前
项和
，则必有
；

（3）若
的最小值为2；

（4）函数
在
上必定有最大值、最小值；

（5）平面内到定点
的距离等于到定直线
的距离的点的轨迹是抛物线.

其中正确命题的序号是
.

三、解答题：共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本题满分12分)命题
：实数
满足
，其中
，命题
：实数
满足

或
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围.

18. （本题满分12分）在
中，
分别是角
的对边，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的面积.

19．(本题满分12分)已知数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意的
满足关系式

.[来源:学科网ZXXK]

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
的通项公式是
，前
项和为
，

求证：对于任意的正数
，总有
.

20．（本题满分12分）据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本
（万元）可以看成月产量
（吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.

（1）写出月总成本
（万元）关于月产量
（吨）的函数关系；

（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；

（3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？

21.（本小题满分12分）设函数
，若函数
在
处与直线
相切，

(1)求实数
，
的值；

(2)求函数
上
的最大值；

(3) 已知函数
（
为实数），若对任意
，
，总有
成立，求
的取值范
围.

22．（本小题满分1
4分）已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为(
，0)．

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 若过原点
作两条互相垂直的射线，与椭圆交于
，
两点，求证：点
到直线
的距离为定值；

(3) 在（2）的条件下，求
面积的最大值．

广饶一中2013-2014学年高二上学期期末

数学试题(文A)评分标准

一、选择题：

DBBCC AB
CBB BD

二、填空题：

13. 2 14.
15.
16. （1）（2）

解答题评分标准：

17．解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，……………………………2分

B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}

＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}. …………………5分

因为
p
是
q的必要不充分条件，

所以
推不出p
，由
得 ……………………………8分

或

…………………………10分

即－≤a＜0或a≤－4.
……………………………12分

18．解：（1）法一：由正弦定理
得………………………1分

将上式代入已知
…………………3分

即

即

∵
………5分

∵
∵B为三角形的内角，∴
. ………6分

法二：由余弦定理相应给分

（2）将
代入余弦定理
…7分

，

∴
……………………………10分

∴
. ……………………………12分

19.(1)解 由已知得 (n≥2)． ……………………………2分[来源:学科网]

故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)．

故数列{an
}为等比数列，且公比q＝3. ……………………………4分

又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n. ……………………………6分

(2)证明　∵bn＝＝－. ……………………………8分

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＋＋…＋ …………………………10分

＝1－<1. ……………………………12分

20.解：（1）
（
） ……………………………2分

将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得

（
） ……………………………4
分

（2）设最大利润为
则

……6分

因为
，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.…………8分

（3）
……………………10分

当且仅当
，即
时上式“=”成立. …………………11分

故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. ……………12分

21. 解：（1）

函数
在
处与直线
相切

解得
………………………………………………3分

(2)
……………………………5分

当
时，令
得
；令
，得

上单调递增，在（1，e）上单调递减，
……8分

（3）由
知
在
上单调增。 ……………………………9分

最小值为
， ……………………………………………………10分

命题等价于
……………………………………………………11分

即
得
………………………………………………12分

22. 解：（1）
………………
………… 3分

（2） 设
，
，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.

由
，得
……………………………5分

＞0，
……………………………6分

有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)

＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 ………………………8分

代入，得4 m2＝3 k2＋3原点到直线AB的距离d＝
. ………………9分

当AB的斜率不存在时，
,可得
，依然成立．

所以点O到直线
的距离为定值
……………………………10分

说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分

（3）

＝
＝
≤4 …………………12分

当且仅当
，即
时等号成立. ……………………………13分

当斜率不存在时，经检验|AB|＜2.所以
≤

综合得：
面积的最大值为
………………………14分