山东省临沂市重点中学2013-2014学年高
二3月月考 理科数学

（本次考试与你共勉：态度决定高度，细节决定成败）

第Ⅰ卷

选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）

1. 若复数
是纯虚数，则实数a的值为 （　　）

A．1 B．2 C．1或2 D．-1

2. 观察按下列顺序排列的等式：
，
，
，
，
，猜想第
个
等式应为

A．

B．

C.
D．

3．设
则
（ ）

A．都不大于
B．都不小于

C．至少有一个不大于
D．至少有一个不小于

4． 设
，
，
，则
的大小顺序是( )

A.
B.
C.
D.

5.函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

6．函数
的零点
个数为（ ）

7.若函数
在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数
的图像可能是 ( )

9．用数学归纳法证明不等式
时的过程中，由

到
时，不等式的左边 （　　）

A．增加了一项
B．增加了两项

C．增加了两项
，又减
少了一项

D．增加了一项
，又减少了一项

10．设函数
在区间（0，4）上是减
函数，则
的取值范围是 ( ) [来源:Zxxk.Com]

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共75分）

二、填空题（本大题共5题，每小
题5分，共25分）

11. 已知复数
是
虚数单位，则复数的虚部是 .

12.定积分
等于 .

13.若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1
=0，则a-b= .

14．在平面几何中,有射影定理：“在
中,
，点
在
边上的射影为
，有
.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥
中,
平面
，点
在底面
上的射影为
，则有 .”

15.已知函数
，曲线
过点
处的切线与直线
和直线
所围三角形的面积为_________。[来源:学#科#网Z#X#X#K]

三．解答题：(本大题共6个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16、（本小题满分12分）[来源:Zxxk.Com]

设复数

，若
，求实数
的值。

17、(本小题满分12分)设函数
的图像与直线
相切与点（1，-1（1）求a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性，并求函数的极值.(3)若函数在(m,
)上为减函数，求m的取值范围.

[来源:学。科。网]

19. （本小题满分12分）一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km?时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少(轮船最高速度为bkm/小时)？

20. （本小题满分13分） 是否存在常数
，使等式
对于一切
都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？(提示:可先令n=1,2探求出a,b的值再证明)

21. （本小题满分14分）已知函数
在
上是增函
数，在
上为减函数.

（1）求
的表达式；

（2）若当

时，不等式
恒成立，求实数
的值；

（3）是否存在实数
使得关于
的方程
在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数
的取值范围.

[来源:Zxxk.Com]

2013——2014下学期3月份单元质量测评理科数学试题答案

（3）由m
-1，

，解得0

19．解：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv3（k≠0），由已知，当v=10时，u
=35，∴35=k×103?k＝
,∴u＝
v3．∴轮
船行驶1千米的费用y=u?
+560?
=
v2+
,

用导数可求得当b
20时，当v=20时费用最低为42元，当b<20时,费用最低为

元;?答：当b
20时,当轮船速度为20km/h时，轮船行每千米的费用最少，最少费用为42元.当b<20时,费用最低为
元.

20..解：若存在常数
使等式成立，则将
代入上式，有

得
，即有

对于一切
成立………4分

证明如下：

(1)当
时，左边=
，右边=
，所以等式成立 …………6分

(2)假设
时等式成立，即

当
时，

=

=
=

=
=

也就是说，当
时，等式成立，

综上所述，可知等式对任何
都成立。 …………13分

（3）若存在实数b使得条件成立，

方程f(x)=x2+x+b

即为x-b+1-ln(1+x)2=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,

则g′(x)=1-
=
,

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有

2-2ln2＜b≤3-2ln3,

故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.