一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

1．已知函数
的图象上一点(1,2)及邻近一点
,则
等于( )

A. B.
C.
D.

2．设
在
上连续，将
等分，在每个小区间上任取
，则
=

A.
B.

C.
D.

3．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是(　　)

①平行于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一直线的两条直线平行；

③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；

④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．

A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④

4. 已知函数
有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )

A．
B．
C．
或
D．
或

5．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)

A．－1 B.  C．－2 D．2

6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有(　　)

A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11

C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值

7． 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)

在开区间(a，b)内的极小值点共有(　　)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．函数y＝xln x在(0,5)上是(　　)．

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在上单调递增，在上单调递减

D．在上单调递减，在上单调递增

9．
＝则
＝(　　)．

A.  B.  C.  D．不存在

10. 设函数
，若对于任意
，
恒成立，则实数m的取值

范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设
,函数
的导函数是
,且
是奇函数.若曲线
的一条切线的斜率是
,则切点的横坐标为( )

A.
B.
C.
D.

12．已知f(x)＝aln x＋x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数 x1、 x2都有

恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞) B． [1，＋∞) C．(0,1) D．(0,1]

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)

13．在下面演绎推理中：“∵|sin x|≤1，又m＝sin α，∴|m|≤1”，大前提是________．

14．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

15．设
.若曲线
与直线
所围成封闭图形的面积为
，则
______.

16． 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为.则过切点

A的切线方程是______________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

17．(本小题满分11分)

已知为实数，
。

⑴求导数
；

⑵若
，求
在[－2，2] 上的最大值和最小值；

18．（本小题满分11分）

求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．

19．(本题满分12分)

设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值．

20．（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。

（1）求k的值及f(x)的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

21.（本小题满分12分）

已知

（1）当=1时，求
的单调区间；

（2）是否存在实数，使
的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

22．(本小题12分)

已知函数
.

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，求实数的取值范围。

高二数学答题卷（理科）

成绩：____________

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13． 14． 15． 16．

三、解答题：

17．(11分)

18．（11分）

19.(12分)

20．（12分）

21.（12分）

高二数学（理）参考答案

18．（本小题满分11分）求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．

[解析]　由得x1＝0，x2＝2.

由图可知，所求图形的面积为S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx|＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx.

因为′＝2x－x2，

′＝2x2－4x， 所以S＝－＝4.

19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值点．

[解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a.

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以即

解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.

当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．

20．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）=
，再由C（0）=8，得k=40，因此C（x）=
。

而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造 费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）=20C（x）+ C1（x）=20
+6x=
+6x（0x10）。

（Ⅱ）f’（x）=6－
，令f’（x）=0，即
=6，解得x=5，x=－
（舍去）。

当00。故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）=65+
=70。

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元

21．（本小题满分12分）

已知

（1）当a=1时，求
的单调区间；

（2）是否存在实数a，使
的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

解：（1）当a=1时，

当

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（－∞，0）（1，+∞）

（2）
………8分

令
列表如下：

x

（－∞，0）

0

（0，2－a）

2－a

（2－a，+∞）





－

0

＋

0

－







极小



极大







22．(本小题12分)已知函数
.

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，求实数的取值范围。

解：（Ⅰ）当
时，函数
，
． 　　　　　　　　　　　

，

曲线
在点
处的切线的斜率为
．

从而曲线
在点
处的切线方程为
，

即
．

（Ⅱ）
．

令
，要使
在定义域
内是增函数，只需
在
内恒成立.

由题意＞0，
的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
，∴
，

只需
，即
，

∴
在
内为增函数，正实数的取值范围是
.

（Ⅲ）∵
在
上是减函数，

∴
时，
；
时，
，即
，

①当＜0时，
，其图象为开口向下的抛物线，对称轴
在轴的左侧，且
，∴

在

内是减函数．

当
时，
，因为

，所以
＜0，
＜0，

此时，
在

内是减函数．

故当
时，
在
上单调递减
，不合题意