“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考

2013-2014学年下学期第一次月考

高二数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．复数
，则它的共轭复数
在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（ ）

A．合情推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．类比推理

3. 在区间
内不是增函数的是（　　）

A.
B.
C.
D.

4. 函数
的图象上一点
处的切线的斜率为（ ）

A．－
B．
C． －
D．－

5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）

A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

6.
等于（ ）

A．
B．2 C．
D．

7．已知复数
且
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可以是（ ）

A.

B.

C.

D.

9. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为

平行六面体。如，在平行四边形

中，有
，

那么在图（2）的平行六面体

中有
等于( )

10.对于三次函数
，定义
是
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数
都关于点
对称：

②存在三次函数
, 若
有实数解
，则点
为函数
的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数
，则:

其中所有正确结论的序号是( )．

A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11．已知
是虚数单位，则
=______▲▲▲_______.

12. 由直线
，曲线
及
轴所围图形的面积为 ▲▲▲

13.已知函数
有极大值和极小值，则实数
的取值范围是▲

14. 若
上是减函数，则
的最大值是 ▲▲▲

15. 设
表示不超过
的最大整数，如
．我们发现：

；

；

；

．．．．．．．

通过合情推理，写出一般性的结论 ▲▲▲ (用含
的式子表示)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分13分)

设函数

，已知曲线
在点
处的切线方程是
．

（Ⅰ）求
的值；并求出函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最值．

17．（本小题满分13分）

设数列
满足
．

（Ⅰ）求
；

（II）由（I）猜想
的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；

18．(本题满分13分)

已知
,证明：
，并利用上述结论求
的最小值(其中
．

19. (本题满分13分)

已知函数
，
,
为自然对数的底数.

（I）求函数
的极值；

（II）若方程
有两个不同的实数根，试求实数
的取值范围；

20．（本题满分14分）

甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边
处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的
处，乙厂到河岸的垂足
与
相距50千米，两厂要在此岸边
之间合建一个供水站
，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3
元和5
元，若
千米，设总的水管费用为
元，如图所示，

（I）写出
关于
的函数表达式；

（II）问供水站
建在岸边何处才能使水管费用最省？

21. (本小题满分14分)

已知函数
（
）

（I）讨论函数
的单调性；

（II）若函数
在
处取得极值，不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；

（III）当
时，证明不等式
.

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高二数学（理科）试题参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

D

A

B

A

B

C

C

A



二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11.1+3i 12. 2ln2 13.
或
1４. -1

15．

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分13分)

解：（Ⅰ）
，
，

. …………………………3分

，

令
，得
或
；令
，得

的递增区间为
，

的递减区间为
………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知列表得

－1







1







＋

0

－

0





-1

递增

极大

递减

-1



由表得当
时，

又
，

17．解：（1）由
，得
……………………………2分

由
，得
，……………………………4分

由
，得
……………………………………………………6分

（2）由（1）猜想
…………………………………………………7分

下面用数学归纳法证明

①当
时，
，猜想成立；………………………………………………8分

②假设
时，猜想成立，即
，…………………9分

那么当
时，

所以当
时，猜想也成立………………………………………12分

由①②知，对于任意
都有猜想成立…………………………13分

18．(本题满分13分)

………………………………………4分

……………………………………………………7分

（法二）要证明

只要证
………………………2分

即证
……………………………………………………………4分

即证
（显然成立）

故原不等式得证………………………………………………………………………7分

由不等式
成立

知
，…………………………10分

即最小值为25，当且仅当
时等号成立。………………………………………13分

19.解：
………………………2分

令
，解得
或
，列表如下………………………4分



－4



0







＋

0

－

0

＋





递增

极大

递减

极小

递增



由表可得当
时，函数
有极大值
；

当
时，函数
有极小值
；…………………8分

（2）由（1）及当
，
；

，

大致图像为如图（大致即可）

问题“方程
有两个不同的实数根”转化为函数
的图像与
的图像有两个不同的交点， ………………………………10分

故实数
的取值范围为
. …………………………………13分

20．解：（1）∵
，BD=40,AC=50－
,∴BC=

又总的水管费用为y元，依题意有：

=3
(50－x)+5


…………………………………6分

（2）由（1）得y′=－3
+
,令y′=0,解得
=30 …………………………………8分

在(0,30)单调递减，在(30,50)单调递增上，…………………………………11分

函数在
=30(km)处取得最小值，此时AC=50－
=20(km) …………………………………13分

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. ……………………………14分

21. 解：（1）
函数
的定义域为
，
……………………1分

当
时，
，从而
，故函数
在
上单调递减……3分

当
时，若
，则
，从而
，

若
，则
，从而
，

故函数
在
上单调递减，在
上单调递增；…………………………5分

（2）由（1）得函数
的极值点是
，故
………………6分

所以
，即
，

由于
，即
.……………………………………7分

令
，则

当
时，
；当
时，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增；……………………………9分

故
，所以实数
的取值范围为
…………………………10分

（3）不等式
…………………11分

构造函数
，则
，

在