瑞安中学2013学年第一学期高二期末考试数学（理科）试卷2014.1

本卷满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 若两个球的体积之比为
，则它们的表面积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若抛物线
的焦点为
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3.
是方程
表示圆的（ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

4.设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

5.命题“若
，则
或
”的否定是（ ）

A．若
，则
或

B．若
，则
且

C．若
，则
或
D．若
，则
且

6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（　　）

A．
B．
C．


D．
[来源:学科网]

7.双
曲线
与椭圆
的离心率互为倒数，则（　　）

A．
B．
C．
D．

8.一个动圆与定圆
：
相内切，且与定直线
：
相切，则此动圆的圆心
的轨迹方程是（ ）

A．
B．
C．
D．
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

9．直线
与曲线
的交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．
3[来源:学,科,网Z,X,X,K]

10．三棱锥
中，
两两垂直且相等，点
分别是线段
和
上移动，且满足
，
，则
和
所成角余弦值的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．

11．双曲线
的渐近线方程是_________________．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

12．在空间直角坐标系中，若
两点间的距离为10，则
__________．

13．直
线
的倾斜角的余弦值为______________________．

14．如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点
上，且灯的深度
等于灯口直径
，且为64
，则光源安装的位置
到灯的顶端
的距离为____________
．

15．在正方体
中，直线
与平面
所成角的大小为____________．

16．若圆
与圆
的公共弦的长为8，则
___________．

17．对于曲线
有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线
对称；（4）
．其中正确的有________（填上相应的序号即可）.

三、解答题（本大题共4小题，满分52分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

18．（本题满分12分）如图，已知长方形
的两条对角线的交点为
，且
与
所在的直线方程分别为
．

（1）求
所在的直线方程；

（2）求出长方形
的外接圆的方程.

19．（本题满分12分）已知命题
：存在
使得
成立，命题
：对于任意
，函数
恒有意义.

（1）若
是真命题，求实数
的取值范围；

（2）若
是假命题，求实数
的取值范围.

20．（本题满分14分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
，

，
，底面
是边长为
的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．

（1）求证：
侧面
；

（2）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值．

21．(本题满分14分) 已知椭圆
的右焦点为
，
为上顶点，
为坐标原点，若△
的面积为
，且椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线
交椭圆于
，
两点， 且使
点
为△
的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

瑞安中学高二期末考试数学（理科）参考答案2014.1

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A[来源:学科网]

C

D

B

B

D

B

C



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．

11.
12.
13.
14.
15.
16.
或
17．（2）、（3）

三、解答题（本大题共4小题，满分52分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

18．解
：（1）由于
，则
………………………………………2分

由于
，则可设直线
的方程为：
，

又点
到
与
的距离相等，则
，

因此，
，或
（舍去），

则直线

所在的方程为
． …………………………………………6分

（2）由直线
的方程解出点
的坐标为

则
即为长方形
的外接圆半径 …………………………………………10分

故长方形
的外接圆的方程为
． …………………………………………12分

19．（1）设
，对称轴为

若存在一个
满足条件，则
，得
，………………………………3分

若存在两个
满足条件，则
，得
，

故满足条件的
实数
的取值范围为
…………………………………………6分

（2）由题意知
都为假命题，若
为假命题，则
或
……………………………………8分

若
为假命题，则由
得
或
…………………………………………10分

故满足条件的实数
的取值范围为
或
…………………………………………12分

20．解：（1）证明：连接
并延长与
交于
点，则由题意及相似关系可知点
为
的
中点，

所以
三点共线，从而可得
， …………………………………………4分

因此
侧面
． ………………………………6分

（2）经过
点作
的垂线与
的延长线交于点
，则
，经过
点作
的垂线与
的延长线交于点
，则
，所以
即为所求二面角的平面角…………………10分

且
，则
，并由相似关系得：
，故
，即为所求二面角的正切值．……………………14分

21．解：（1）由题意可得
，…………………………2分

解得
，
，故椭圆方程为
． 　　…………………………
………………6分

（2）假设存在直线
交椭圆于
，
两点，且
为△
的垂心，

设
，

因为
，
，故
． …………………………………………7分

于是设直线
的方程为
，

由
得
．

由
，得
， 且
,
． ………………………………9分

由题意应有
，又
，

故
，得
．

即
． ……………………………………11分

整理得
．

解得
或
．经检验，
当
时，△
不存在，故舍去
．

当
时，所求直线
存在，且直线
的方程为
． ………………………14分