2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）

数学科试卷（理科）答案

由（1）、（2）可知，对于任意
时，不等式成立． …………………………（12分）

16.①解：
，

因为函数
在
及
取得极值，则有
，
．

即
解得
，
．……………………………（5分）

②由（Ⅰ）可知，
，

．当
时，
；

当
时，
；当
时，
．

所以，当
时，
取得极大值
，又
，
．

则当
时，
的最大值为
．………………………（12分）

17．（本小题满分14分）

解：依题意得
在点
处的切线是:
即：

在点
处的切线是：
即：
……………………5 分

解方程组
得两切线的交点为
…………………………7 分

……………………10分

……………………11分

…………………………14分

18.解: (1)令
解得
…………（2分）

当
时,
, 当
时,
,当
时,

所以,函数在
处取得极小值,在
取得极大值,故
,
， 所以, 点A、B的坐标为
.… (6分)

(2) 设
，
，

……………………（9分）

，所以
，又PQ的中点在
上，所以

消去
得
. ………………………（14分）

19.（1）∵
时，
，由函数式
，

得
，∴
． ……………………（3分）

（2）由（1）知
，

∴每日的销售量为
，
．

每日销售该商品所获得的利润为

，
． ………………………（7分）

． ………………………（9分）

于是，当变化时，
，
的变化情况如下表：

（3,4）

4

（4,6）







0









极大值





由上表可以看出，
是函数在区间
内的极大值点，也是最大值点．（12分）

∴当
时，函数
取得最大值
．

因此当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（14分）

20（本小题满分14分）

解：（1）
，
又
…………（4分）

（2）

若
则
，
在
上单调递增；

若
，令
，得

①当
时，
，
时，
单调递减；
时，
单调递增；

②当
时，
，
在
上单调递减；

综上，

在
上单调递增；

时，
在
上单调递减，在
上单调递增；

时，
在
上单调递减.……………………………………………（9分）

（3）由于

故当
时，

①

令
，则

由①知，函数
在
上单调递增，而

所以
在
上存在唯一零点，故
在
上存在唯一零点。

设此零点为，则

当
时，
；当
时，
；

所以
在
上的最小值为
.又由
，可得

由于①等价于
的最大值为2……………………………………（14分）