惠州市东江高级中学2013～2014学年度第二学期

高二数学（理）三月月考试题

时间：120分钟 分值：150分 高二数学备课组

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1、设
是可导函数，且
（ ）

A．
　　　　B．－1 　　　　　C．0 　　　　　D．－2

2、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）

（A） （B） （C） （D）

3．定积分
等于(　　)

A．－6 B．6 C．－3 D．3

4．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数

D．假设a，b，c至少有两个是偶数

5．曲线y=
x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是 （ ）

A．－
B．
C．
D．

6．如图所示，阴影部分的面积是(　　)

A．2 B．2－

C. D.

7．设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＞a＞b B．a＞b＞c

C．a＝b＞c D．a＞c＞b

8．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）

A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9、函数y＝xlnx的导数是＿＿＿＿＿。

10．定积分
＝________.

11、曲线
在点P（－1，－1）处的切线方程是＿＿＿＿＿＿

12．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．

13、如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断：

(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；

(2) 函数y=f(x)在区间（－
，3）内单调递减；

(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；

(4) 当x= －
时，函数y=f(x)有极大值;

(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;

则上述判断中正确的是 .

14．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分12分）

已知函数y=x3－3x2.

（1）求函数的极小值；

（2）求函数的递增区间.

16、（本小题满分12分）在边长为60cm的正方形铁皮的四切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

17、（本小题满分14分）

已知函数
，且
是函数
的一个极小值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

18、（本小题满分14分）

设函数
的图像与直线
相切于点（1，－11）。（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）讨论函数
的单调性。

19．（本小题满分14分）

在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小．

20、（14分）

已知
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
求函数
的单调区间.

惠州市东江高级中学2013～2014学年度第二学期

高二理科数学三月月考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

A

B

C

C

B

D



填空题

9、lnx+1； 10答案：＋2 ;11、y＝x； 12答案： 13.③⑤；

14．答案：　S＋S＋S＝S

15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴
=3x2－6x
，…………………………（3分）

当
时，
；当
时，
. …………………………………（6分）

∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）

（2）由
=3x2-6x >0，解得x<0或x>2， …………………………………………（11分）

∴ 递增区间是
，
. ………………………………………………（12分）

16、解：设箱底的边长为xcm，箱子的容积为V，则

V＝x2?
＝－
＋30 x2

＝－
＋60 x

当
＝0时，x＝40或x＝0（舍去），

x＝40是函数V的唯一的极值点，也就是最大值点，

当x＝40时，V＝16000

所以，当箱底的边长是40cm时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm3。

17.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
. ………………………2分

是函数
的一个极小值点，

.

即
，解得
. ………………………4分

经检验，当
时，
是函数
的一个极小值点.

实数的值为. ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
.

.

令
，得
或
. ………………………7分

当在
上变化时，
的变化情况如下：







































↗



↘



↗





 ………………………12分

当
或
时，
有最小值
；

当
或
时，
有最大值. ………………………14分

18、解：（Ⅰ）求导得
。

由于
的图像与直线
相切于点
，

所以
，即：

1－3a+3b = -11 解得:
．

3-6a+3b=-12

（Ⅱ）由
得：

令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.

故当x（
, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,
）时，f(x)也是增函数，

但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.

19解：S1＝(t2－x2)dx＝
＝t3－t3＝t3，

S2＝(x2－t2)dx＝
＝t3－t2＋.

∴阴影部分的面积

S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．

∴S′(t)＝4t2－2t.

令S′(t)＝0得t＝0或t＝.

又S(0)＝，S＝，S(1)＝，

∴当t＝时，S有最小值Smin＝.

20、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ） ∵
∴
∴
………2分

∴

， 又
，所以切点坐标为

∴ 所求切线方程为
，即
. …………5分

（Ⅱ）

由
得
或
…………7分

当
时，

由
， 得
．

由
， 得
或
-------------------------9分

此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
.……10分

当
时，

由
，得
．

由
，得
或
-------------------------------12分

此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
.------13分

综上：当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
,
；当
时，
的单调递减区间为
单调递增区间为
,
---14分