惠州市东江高级中学2013～2014学年度第二学期

高二文科数学三月月考试题

参考公式：

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 函数
的导数是

A．
B．
C．
D．

2．复数＝

A．i B．－i

C．－－i D．－＋i

3．复数的共轭复数是

A．－i B.i C．－i D．i

4.在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5． i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是

A．0 B. C．1 D．2

6．曲线
在点
处的切线倾斜角为

A．
B．
C．
D．

7.(2009年广东卷文)函数
的单调递增区间是

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

8. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;

B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;

C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;

D.以上三种说法都不正确.

9．（海南卷4）设
，若
，则

A.
B. C.
D.

10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数
的图象可能是

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填空在答题卡上）

11．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部是________．

12．若复数
(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数， 则复数1＋ai的模是________．

13. 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 则CF=________．

14．观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n个等式为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（12分）已知函数y=x3－3x2.

（1）求函数的极小值；

（2）求函数的递增区间.

16.（12分）

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1





17.（14分）

已知函数
，且
是函数
的一个极小值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

18. （14分）

某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示：

积极参加班级工作

不太主动参加班级工作

合计



学习积极性高

18

7

25



学习积极性一般

6

19

25



合计

24

26

50



(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

(2)试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由.(参考下表)

P(K2≥k)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





19．（14分）已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

20、（14分）

已知
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
求函数
的单调区间.

惠州市东江高级中学2013～2014学年度第二学期

高二文科数学三月月考答案

一 AACAC ADCBC

二 11. 1 12.
13.
14. 解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

三15．（12分）已知函数y=x3－3x2.

（1）求函数的极小值；

（2）求函数的递增区间.

15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴
=3x2－6x
，…………………………（3分）

当
时，
；当
时，
. …………………………………（6分）

∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）

（2）由
=3x2-6x >0，解得x<0或x>2， …………………………………………（11分）

∴ 递增区间是
，
. ………………………………………………（12分）

16. （12分）解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，

所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
人.……4分

（2）设第三组的乘客为
，第四组的乘客为1，2；

“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分

所得基本事件共有15种，即：

……………………………8分

其中事件包含基本事件
，共8种，………………10分

由古典概型可得
， ……………………………………………………12分

17.（14分）

已知函数
，且
是函数
的一个极小值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

17.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
. ………………………2分

是函数
的一个极小值点，

.

即
，解得
. ………………………4分

经检验，当
时，
是函数
的一个极小值点.

实数的值为. ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
.

.

令
，得
或
. ………………………7分

当在
上变化时，
的变化情况如下：







































↗



↘



↗





 ………………………12分

当
或
时，
有最小值
；

当
或
时，
有最大值. ………………………14分

18. （14分）

某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示：

积极参加班级工作

不太主动参加班级工作

合计



学习积极性高

18

7

25



学习积极性一般

6

19

25



合计

24

26

50



(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

(2)试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由.(参考下表)

P(K2≥k)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



解:(1)积极参加班级工作的学生有24人,总人数为50人,概率为
；

不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,概率为
.

(2)
,

∵K2＞6.635,

∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系.

19．（14分）已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

19. （14分）解析　设z＝x＋yi(x、y∈R)，

∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.

＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i.

由题意得x＝4，∴z＝4－2i.

∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

根据条件，可知解得2＜a＜6，

∴实数a的取值范围是(2,6)．

20、（本小题满分14分）

已知
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
求函数
的单调区间.

20、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ） ∵
∴
∴
………2分

∴

， 又
，所以切点坐标为

∴ 所求切线方程为
，即
. …………5分

（Ⅱ）

由
得
或
…………7分

当
时，

由
， 得
．

由
， 得
或
-------------------------9分

此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
.……10分

当
时，

由
，得
．

由
，得
或
-------------------------------12分

此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
.------13分

综上：当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
,
；当
时，
的单调递减区间为
单调递增区间为
,
---14分