第一部分 选择题

一、选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。每题5分，满分50分）

1、复数
为纯虚数，则实数
的值为 ( )

A.
B. 0 C. 1 D.

2、“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理是( )

A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错

3、在复平面内，若
所对应的点在第二象限，则实数
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。[来源:学。科。网Z。X。X。K]

A.假设三内角都不大于60度；
B.假设三内角都大于60度；

C.假设三内角至多有一个大于60度； D.假设三内角至多有两个大于60度。

5、下表是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由散点图可知，用水量
与月份
之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是
，则
等于 ( )[来源:学科网ZXXK]

月份x

1

2

3

4



用水量y

4.5

4

3

2.5





A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25

6、下说法正确的是 ( )

A.若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值
越大，则“X与Y相关”可信程度越小；

B.对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x、y之间的这种非确定性的关系叫做函数关系；

C.相关系数r越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱；

D.
若相关指数
越大，则残差平方和越小.

7、设
的共轭复数是
，若
则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

8、已知数列
的前
项和
，通过计算
，猜想
( )

A.
B.
C.
D.

9、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ( )

A.4 B.5 C.6 D.7

10、如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当
时，其离心率为
，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

第二部分 非选择题

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中横线上)．

11、观察下列式子：
，则可猜想：当
时，有 .

12、若
，其中
、

，
是虚数单位，则
_________

13、在极坐标系中，设
是直线
上任一点，
圆
上任一点,则
的最小值是 。

14、已知复数
则
虚部的最大值为 .

三、解答题：本题共6小
题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15、（本题满分12分）

已知复数
分别对应向量
（
为原点），若向量

对应的复数为纯虚数，求
的值.

16．（本题满分13分）

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日



温差x（°C）

10

11

13

12

8



发芽数y（颗）

23

25

30

26

16



该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据
中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出
关于
的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？

17．（本题满分14分）

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在
的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得到如下表格：

（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质频率；

（2）由以上统计数据填写下面
列联表；

（3）请通过计算回答：是否有99%
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？

18．（本题满分14分）[来源:Z#xx#k.Com]

（1）用综合法证明：
；

（2）用分析法证明：正数
满足
，求证：
。

19．（本题满分13分）

如图所示，在四面体
中，
且
分别是
的中点，求证：

（1）直线
∥面
；

（2）面
⊥面
.

20．（本小题满分14分）

在数列
中，
.

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前
项和
；

（3）
证明：不等式
对任意
都成立.



16.（13分）解：（1）根据已知数据，

可求得
------------------------------3分[来源:学*科*网Z*X*X*K]

由公式，求得
-----------------------------------------------5分

所以y关于x的线性回归方程为
.---
------------------------------------7分

（2）当
时，
,

同样，当
时，
,-----------------------------11分

所以该研究所得到的回归方程是可靠的. ----------------------------------------------13分

17.（14分）解：（1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
72%；----------------------------------------------------------------------2分

乙厂抽查的产品中有320件优质品，

从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
64%.----------------------------------4分

（2）

--------
----------------------7分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（3）∵
，-----------------------11分

∴有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. -----------------------------14分

18.（14分）证明：（1）左边=
…………2分

………………………………………………4分

……………………………………………………5分

=右边

原等式成立。……………………………………………………6分

（2）欲证
……………1分

只需证
………
………2分

只需证
……………………………3分

只需证
……………………………4分

只需证
………………………………5分

只需证
，又
……………………6分

只需证
……………………………………7分

是题设条件，显然成立。

故
…………………8分

19.（本题满分13分）如图所示，在四面体
中，
且
分别是
的中点，求证：

（1）直线
∥面
；

（2）面
⊥面
.

证明：（1）∵
分别是
的中点，

∴
是
的中位线，

∴
∥
.-------------------------------------------------------------3分

∵
面
，
面
,

∴直线
∥面
.--------------------------------------------------6分

（2）∵
,
∥
,

∴
.-------------------------------------------------------------8分

∵
是
的中点，

∴
,-------------------------------------------------------------10分

又
,
面
,∴
面
，

∵
面
,

∴面
面
.----------------------
----------------------------13分

.----------------------------------------12分

∴不等式
对任意
都成立.----------------------------------------------14分