注意事项：

1．答卷前，考生务必用2
B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设z的共轭复数是
，或z+
=4,z·
＝8，则
等于 ( )

A 1　　　　　　　B -i C ±1 D ±i

2. 若f(x)为可导函数，且满足
，则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程的斜率为（ ）

A -2 B -1 C 1 D 2

3. 已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为 (　　)

　A.－3 B.2 C.－3或2 D.

4. 函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是 (　　)

A．t>5 B．t<5 C．t≥5 D．t≤5

[来源:学科网ZXXK]

5.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则? f(－x)dx的值等于 (　　)

　A. B. C. D.

6. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最
小值，则a的取值范围为 (　　)

A．0≤a<1 B．0

7. 定积分?[－x]dx等于
(　　)

A. B.－1 C. D.

8. 已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 014的值为 (　　)

A. B.
C. D.

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 复数Z=（-1-2i）i的虚部为------

10. 曲线y＝－在点M处的切线方程为--------

11. 若函数f(x)＝在区间(a-1,2a)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_____.

12. 已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(1)＝________.

13. 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝-t＋3(单位：m/s)运动.求质点在4 s内运行的路程------

14. 函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. 若关于x的方程f(x)＝k有三个根，则实数k的取值范围-----------

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，

试求：(1)、所表示的复数；

(2)对角线所表示的复数；

(3)求B点对应的复数．

16. 求由抛物线y＝－x2＋4x及其在点A(0，0)和点B(4,0)处的切线所围成的图形的面积

17.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，

若x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

18. 试做一个上端开口的圆柱形容器，它的净容积为V，壁厚为a(包括侧壁和底部)，其中V和a均为常数。问容器内壁半径为多少时，所用的材料最少?

[来源:Zxxk.Com]

19.求函数
的单调区间。

20. 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；

(2)设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．

南开实验学校2013-2014学年第二学期期初考试

高二理科数学

2014.3

本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考
生必须保持答题卡的整洁。考试结束
后，收卷时只交答题卷。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设z的共轭复数是
，或z+
=4,z·
＝8，则
等于 ( D )

A 1　　　　　　　B -i C ±1 D ±i

2. 若f(x)为可导函数，且满足
，则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程的斜率为（ A ）[来源:Z+xx+k.Com]

A -2 B -1 C 1 D 2

3. 已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标
为 (　B　)

　A.－3 B.2 C.－3或2 D.

4. 函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是 (　C　)

A．t>5 B．t<5 C．t≥5 D．t≤5

5.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则? f(－x)dx的值等于 (　A　)

　A. B. C. D.

6. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为 (　B　)

A．0≤a<1 B．0

7. 定积分?[－x]dx等于 (

　A　)

A. B.－1 C. D.

8. 已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 014的值为 (　B　)

A. B.
C. D.

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 复数Z=（-1-2i）i的虚部为------ -1

10. 曲线y＝－在点M处的切线
方程为--------

11. 若函数f(x)＝在区间(a-1,2a)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_____.

12. 已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(1)＝________. -1

13. 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝-t＋3(单位：m/s)运动.求质点在
4 s内运行的路程------5

14. 函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. 若关于x的方程f(x)＝k有三个根，则实数k的取值范围-----------（-4|3,28|3）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，

试求：(1)、所表示的复数；

(2)对角线所表示的复数；

(3)求B点对应的复数．

解　(1)＝－，∴所表示的复
数为－3－2i. 4分

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.

(2)＝－，∴所表示的复数为

(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 8分

(3)＝＋＝＋，

∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i. 12分

17.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，

若x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 2分

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①

当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0， 4分

可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4，

又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.

∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5. 6分

(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4.[来源:学科网]

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，

∴f′(x)<0的解集为，即为f(x)的减区间．

[－3，－2)、是函数的增区间． 10分

又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝
，f(1)＝4，

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为. 14分

19.求函数
的单调区间。

解：函数的定义域
1分

2分

当m=0时
函数在定义域上为增函数。 3分

令
即

当

4分

2.当
时
函数在定义域上为增函数 6分

当
时
函数在定义域上为减函数 8分

3.当0

所以函数在定义域上为增函数

当-1

<0
>0 10分

函数f(x)在（0，
）上为增函数

在（
，+∞）上为减函数 13分

综上所述：当
时，函数y=f(x) 的增区间为(0,+∞)

当
时，函数y=f(x)的减区间(0,+∞)

当-1

当a≥e时，f(x)在(0，]，[a，＋∞)上单调增，在(，a)上单调减，所以在[1，e]上单调减．

所以f(x)min＝f(e)＝e2－(2a＋1)e＋a. 7分

(2)由题意，不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，

即x2－2x＋a(lnx－x)≥0在[，e]上有解．

因为当x∈[，1]时，lnx≤0

当x∈(1，e]时，lnx≤1

所以lnx－x<0，

所以a≤在[，e]上有解． 10分

设h(x)＝，

则h′(x)＝

＝，

因为x∈[，e]，所以x＋2>2≥2lnx，

所以当x∈(，1)时，h′(x)<0，此时h(x)是减函数；

当x∈(1，e)时，h′(x)>0，此时h(x)是增函数．

因为h()＝<0，h(e)＝>0，

所以当x∈[，e]时，h(x)max＝h(e)＝，

所以a≤.

所以实数a的取值范围为(－∞，]． 14分