2013-2014学年度高二（理）下学期第一次调研考试

数学试题

（满分150分，考试时间：120分钟）

第一卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、自变量
变到
(
>
)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）

A． 在区间[
,
]上的平均变化率 B． 在
处的变化率

C． 在
处的变化量 D．在区间[
,
]上的导数

2、在下列结论中，正确的有 (　　)．

(1)单调增函数的导数也是单调增函数；

(2)单调减函数的导数也是单调减函数；

(3)单调函数的导数也是单调函数；

(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个

3、函数y＝x3cosx的导数是 (　　)

A．3x2cosx＋x3sinx B．3x2cosx－x3sinx

C．3x2cosx D．－x3sinx

4、若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ (　　)

A．－1 B．－2

C．2 D．0

5、若
，则
的值等于（ ）

A．1 B．–1 C 1或–1 D．2

6、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　)

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

7、已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)

A．a≥3　　　　　 B．a>3

C．a≤3 D．a<3

8、函数y＝2－x2－x3的极值情况是 (　　)

A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值

C．既无极
大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值

9、已知物体的运动方程是
（
表示时间，
表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（ ）．

A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒

10、设
是函数
的导数，
的图像如图所示，则
的图像最有可能的是（ ）．

11、下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是 (　　)

A．y＝2－3x2 B．y＝lnx

C．y＝ D．y＝sinx

12、若函数f(x)＝ f ′(－1) x2－2x＋3，则f ′(－1)的值为 (　　)

A．0 B．－1 C．1 D．2

第二卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、 如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在区间内单调递增；

②函数y＝f(x)在区间内单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述判断正确的是________．(填序号)

14、若函数
有三个单调区间，则
的取值范围是________．

15、计算定积分
___________．

16、y＝x2ex的单调递增区间是____ ____ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、(本小题满分10分)求曲线
与直线
围成的封闭图形的面积？

18、(本小题满分12分)用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

19、（本小题满分12分）如果
曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.

20、（本小题满分12分）已知函数
在
处取得极值为

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)若
有极大值28，求
在
上的最大值和最小值．

21、(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
(升)关于行驶速度
(千米∕小时)的函数解析式可以表示为：
．已知甲、乙两地相距
千米．

(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

22． (本小题满分共12分)已知函数
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线

(Ⅰ)求
,
,
,
的值;

(Ⅱ)若
≥-2时,
≤
,求
的取值范围.

2013-2014学年度高二（理）下学期第一次调研考试

数学试题答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

B

C

D

A

D

D

C

C

B



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．③； 14．(0，＋∞)；

15．
16．(－∞，－2)，(0，＋∞)

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、解：由
与
得
，所以曲线
与直线y=
围成的封闭图形的面积

=

18、 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

19、解设切点坐标为(x0,y0),则切线在点x=x0的斜率为y′
=

(x3+x-10)′
=3
+1,又切线与直线y=4x+3平行,所以切线的斜率为4,

所以3
+1=4,所以x0=±1，所以
或

所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12),切线方程为y+8=4(x-1)或y+12=4(x+1),

即y=4x-12或y=4x-8.

20．【解析】（Ⅰ）因
故
由于
在点
处取得极值

故有
即
，

化简得
解得
-

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

令
，得
当
时，

故
在
上为增函数；

当
时，
故
在
上为减函数

当
时
，故
在
上为增函数。

由此可知
在
处取得极大值
，
在
处取得极小值
由题设条件知
得

此时
，

因此
上
的最小值为
，最大值为f(-2)=28。

21.解：（I）当
时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，

要耗没
（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为
千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，设耗油量为
升，

依题意得

令
得

当
时，
是减函数；

当
时，
是增函数。

当
时，
取到极小值

因为
在
上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

22【答案】(Ⅰ)由已知得
,

而
=
,
=
,∴
=4,
=2,
=2,
=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,

设函数
=
=
(
),

=
=
,

有题设可得
≥0,即
,

令
=0得,
=
,
=-2,

(1)若
,则-2<
≤0,∴当
时,
<0,当
时,
>0,即
在
单调递减,在
单调递增,故
在
=
取最小值
,而
=
=
≥0,

∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,

(2)若
,则
=
,

∴当
≥-2时,
≥0,∴
在(-2,+∞)单调递增,而
=0,

∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,

(3)若
,则
=
=
<0,

∴当
≥-2时,
≤
不可能恒成立,

综上所述,
的取值范围为[1,
].