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| 简介：
一、选择题 1．下列求导运算正确的是( ) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A．2 B．－1 C．1 D．－2 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为( ) 4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1 5． (sinx＋cosx)dx的值是( ) A．0 B. C．2 D．4 6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( ) 7．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A．sin2x B．x＋sinx C．x3－x D．－x＋ln(1＋x) 8．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是( ) A．m<2或m>4 B．－4 9．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为( ) A．1 B．3 C．5 D．7 10. 设0< A.f ()< f () C. f ()< f () 11．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为( ) A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m 12. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为……………………( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 二、填空题： 13．经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为______________． 14. 已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 __ _ 15．函数f(x)＝－x3＋3x2在[－1,1]上的最大、小值分别为M和m，则f(x)dx＝____ _. 16．下列四个命题中，正确命题的个数为________． ①若f(x)＝，则f′(0)＝0； ②若函数f(x)＝2x2＋1，图象上点(1,3)的邻近一点为(1＋Δx,3＋Δy)，则＝4＋2Δx； ③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数； ④曲线y＝x3在(0,0)处没有切线． 三、解答题 17．(本题满分12分)求定积分－1f(x)dx，其中f(x)＝. 18．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0 [来源:学+科+网Z+X+X+K] 19．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值； (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 20．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去． (1)若存款利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式； (2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？ [来源:学|科|网Z|X|X|K] [来源:学§科§网Z§X§X§K] 21．已知函数 （Ⅰ）若，试确定函数的单调区间； （Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； 22．已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤时，讨论f(x)的单调性． 数学 （理）答案与解析 6．[答案] D[解析] 函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D. 7．[答案] B[解析] ∵y＝x，y′＝1>0恒成立，∴函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．故选B. 8．[答案] C[ 9．[答案] D [解析] 所求路程S＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)|＝7. 10.答案： D 11．[答案] A [解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m. 12.答案 C 13．[答案] x＋y－2＝0 14．f(x) ＝x3＋x2－8x＋6 15．[答案] 0[解析] 由f′(x)＝－3x2＋6x＝0得x＝0或2，∵x∈[－1,1]，∴x＝0.当x∈(－1,0)时f′(x)<0，当x∈(0,1)时f′(x)>0. ∴x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝0.又f(－1)＝4，f(1)＝2 ∴M＝4，m＝0，∴f(x)dx＝(－x3＋3x2)dx＝＝0. 16．[答案] 1 [解析] f(x)＝在x＝0处无导数，因此①不对；速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数，因此③不对；y＝x3在(0,0)处的切线方程为y＝0，因此④不对． 18．[解析] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，所以a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，所以b＝2. 所以f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2 x 0 (0,2)[来源:Z*xx*k.Com] 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 2 －2 t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2. f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)． (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 20．[解析] (1)由题意，存款量g(x)＝kx2.银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx3. (2)设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx2－kx3. ∴y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0(舍去)或x＝0.032. 当x∈(0,0.032)时，y′>0；当x∈(0.032,0.048)时，y′<0. 所以当x＝0.032时，y取得最大值．即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益． 22．[解析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想． (1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0. (2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1， 所以f′(x)＝－a＋＝－ x∈(0，＋∞)． 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞) ①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； ②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]， (ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减； (ⅱ)当0 x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； | ||||||||||||||||||||||||||||||
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