2015届高二年级第五次月考数学（理科）试卷

一、选择题（5×10=50分）

1．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（ ）.

A、f’(x0) B、2 f’(x0) C、-2 f’(x0) D、0

2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是 ( ）.

A、假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 B、假设a，b，c都是偶数

C、假设a，b，c至少有两个偶数 D、假设a，b，c都是奇数

3.设
（ ）.

C.
D.

4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )．

A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125

5．已知函数
的导数
的最大值为5，则在函数
　图像上的点
处的切线方程是( ).

A．
　　　　 B.

C.
　　　　　　 D.

6．方程
表示的曲线为（ ）.

A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆

7．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝
BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）.

A．60° B．90° C．105° D．75°

8.观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)．

A．76 B．80 C．86 D．92

9．直线
，当
变化时，直线被椭圆
截得的最长弦长是（ ）.

A.4 B.2 C.
D.不能确定

10．在三棱锥P－ABC中，AB
⊥BC，AB＝BC＝
PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（5×5=25分）

11．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______.

12.已知a.b为正实数，则
的大小关系为 。

13. 用数学归纳法证明不等式：
时，第一步应验证n= 时，不等式成立。

14．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________ .

15．如图，设平面
，
，
，垂足分别为
、
。若增加一个条件，就
能推出
。现有：

(1)
；(2)
与
、
所成的角相等；

(3)
与
在
内的射影在同一条直线上；

(4)
。

那么上述几个条件中能成为增加条件的是________。

2015届高二年级第五次月考数学（理科）试卷答题卡

一、选择题（10×5=50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8[来源:学科网ZXXK]

9

10



答案























二、填空题（5×5=25分）

11、 12、 13、

14、 15、

三、计算题（75分）

16．（本题满分12分）
求下列各函数的导数。

（1）
； （2）

（3）

17．（本题满分12分）已知函数f（x）=a
x3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处
的切线与直线x-6y-7=0垂直,导数f/(x)的 最小值为-12,求a,b,c的值．

18．（本题满分12分）已知数列{an
}满足Sn＋an＝2n＋1。

(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

[来源:学科网ZXXK]

1
9．(本小题满分12分)如图，在一个由矩形
与正三角形
组合而成的平面图形中，
现将正三角形
沿
折成四棱锥
，使
在平面
内的射影恰好在边
上．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．(本小题满分13分)已知直线
相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，
，且点M在直线
上.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦点关于直线
的对称点在单位圆
上，求椭圆的方程.

[来源:Zxxk.Com]

21．（本小题满分14分）

(1)　证明：当
时，不等式
成立；

(2)　要使上述不等式
成立，能否将条件“
”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；

(3)请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

2015届高二年级第五次月考数学（理科）试卷答案

1—10：BA
DDB ABBCD

11. －4 12.
13. 8 14.

 15 .①③

16. （1）y

（2）
（3）

17. a=2, b=-12, C=0．

【解析】解:由x-6x-7=0得,k=

∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f/(x)=3ax2+b ∴f/(1)=3a+b=-6

又当x=0时,f/(x)min=b=-12,∴a=2

∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴c=0

∴a=2, b=-12, C=0．[来源:学科网]

18. (1) a1＝
, a2＝
, a3＝
,
猜测 an＝2－

(2)证明： ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－
,

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2ak＋1＝2＋2－
, ak＋1＝2－
, 即当n＝k＋1时,命题成立.

综合(1),(2)可知：对于任意正整数n,都有

[来源:Zxxk.Com]

19.解：（1）折起后，因
在平面
内的射影

在边
上，所以，平面
⊥平面
且交线

为
.………………………………………4分

又矩形
，所以，
⊥
．

由两平面垂直的性质定理，
⊥
平面
⊥平面
.…7分

（2）折起后，由(1), 在△
中，∠
，

∴
，同理得

∴
……9分

而
⊥
⊥
，又
∴
,知∠PAC是所求角…………11分

在
中，
.………………………13分

即直线
与平面
所成角的正弦值为
………………14分

20.（Ⅰ）
（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由
知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由

，

∴M点的坐标为

又M点的直线l上：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，不妨设椭圆的一个焦点坐标为
关于直线l：

上的对称点为
，

则有

由已知

，∴所求的椭圆的方程为

21.（1）证明：见解析；

（2）∵　对任何
且
，式子
与
同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为
且
．

根据（1）（2）的证明，可推广为：
若
且
，
，
，

则有　
．

证明：见解析。

【解析】(1)证明易采用作差比较，然后对差值分解因式，再判断每个因式的符号，从而确定差值符号.

（2）根据（1）先
观察成立时应具体什么条件，然后再采用作差比较法进行证明.（1）证明：左式－右式＝
,

∵　　　
，　∴

，∴　　不等式
成立．

（2）∵　对任何
且
，式子
与
同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为
且
．

根据（1）（2）的证明
，可推广为：若
且
，
，
，

则有　
．证明：左式-右式

．

若
，则由
不等式成立；

若
，则由
不等式成立.

∴　综上得：　　若　
且
，
，
，

则有　
成立．注：（3）中结论为：若
且
，
，

则有　
也对．

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