一、
选
择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.）

1．已知＝2＋i，则复数z的共轭复数为 (　　)

A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i

2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (　　)

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P(1，－2)是C上的点，且y＝x是C的一条渐近线，则C的方程为 (　　)

A.－x2＝1 B．2x2－＝1

C.－x2＝1或2x2－＝1 D.－x2＝1或x2－＝1

4．某社区
对该区所辖的老年人是否需要特殊照顾进行了一项分性别的抽样调查，针对男性老年人和女性老年人需要特殊照顾和不需要特殊照顾得出了一个2×2的列联表，并计算得出k＝4.350，则下列结论正确的是(　　)

A．有95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关

B．有95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别无关[来源:学|科|网Z|X|X|K]

C．该社区需要特殊照顾的老年人中有95%是男性

D．该地区每100名老年人中有5个需要特殊照顾

5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x
0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　)

①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)
＝ln x；④f(x)＝.

A．①③④ B．③ C．②③ D．②④

6．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)　　B．(－∞，0) 　 C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R

7．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 (　　)

A. B．2 C. D.

8．由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)[来源:学_科_网Z_X_X_K]

A．－100 B．0 C．100 D．200

10．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(
　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x

11．　已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝( )

A． B． C．2 D．3

12．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f
(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡的横线上）

13.已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为 。

14．已知椭圆＋
＝1的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B.若∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是 。

15．在△ABC中，D，E分别为A
B，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DE∶BC的值为__________．

16．“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－
3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是 。

三．解答题（本大题共６小题，70分. 解答应写出必
要的文字说明、证明过程
或演算步骤）．

17．(本题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进
行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)

(1)根据以上数据完成下列2×2的列联表：

[来源:学科网ZXXK]

主食蔬菜

主食肉类

合计



50岁以下



[来源:学科网]





50岁以上









合计









(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．

参考公式与临界值表：K2＝

P(K2
≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k0

2.706


3.841

5.024

6.635

10.828[来源:Zxxk.Com]





18．(本题满分12分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中
余下的三个球中再随机抽取一
个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率；[来源:学。科。网]

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放
回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.

(1)求a，b的值；

(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．

20．
(本题满分12分) 如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.[来源:学科网]

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．

21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.

(1)如果函数g(x)的单调减区间为，求函数g(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，求函数y＝g
(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程；

(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2的
解集为P，且(0，＋∞)?P，求实数a的取值范围．

22．(本题满分10分)如图， AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2,

求PE的长

2013-2014学年第二学期3月考试

高二文科数学试卷参考答案

4．【答案】A　[解析] 根据独立性检验的基本思想方法可知选项A正确．

5．【答案】A　[解析] ①即x2＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；③即ln x＝，数形结合可知该方程存在实数解，符合要求；④中，f′(x)＝－，－＝，可得x＝－1为该方程的解，故④符合要求．

6．【答案】A　函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故增区间是(0，＋∞)．

7．【答案】C解析　设切点P(x0，y0)，则切线的斜率为y′|x＝x0＝2x0.

由题意有＝2x0，又y0＝x＋1，解得x＝1，所以＝2，e＝＝.

8、【答案】选B　x0，y0为这10组数据的平均值，又因为回归直线＝x＋必过样本中心点(，)，因此(x0，y0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(，)．

10．【答案】　C　∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，

|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6.即F为AC的中点，

∴p＝|FF′|＝|EA|＝，故抛物线方程为y2＝3x.

11、【答案】B 过点A作AM⊥BC于M，由于∠B＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，

得△ABC与△FCD相似，那么＝()2＝4，又S△FCD＝5，那么S△ABC＝20，由于S△ABC＝BC·AM，由BC＝10，得AM＝4，此时BD＝DC＝5，M为DC中点，BM＝7.5，

由于＝＝＝?DE＝.

12.【答案】D　观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，

13.【答案】y＝－2x. 解析：　∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，

∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.∵f′(x)为偶函数，∴a＝0.

∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.

14．【答案】e＝ 根据已知得－×＝－1，即b2＝ac，由此得c2＋ac－a2＝0，即＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝(舍去负值)．

15.【答案】1∶2　解析：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得答案．

16.【答案】a≤－或a>3. 解析：由2x2－5x－3≥0得x≤－或x≥3.

∵x∈{3，a}是不
等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3，∴a≤－或a>3.

17.解：(1)

主食蔬菜

主食肉类

合计



50岁以下

4

8

12



50岁以上

16

2

18



合计

20

10

30





……6分

(2)K2＝＝＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．…………12分

18解：　(1)设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

事件A发生的概率为P(A)＝＝.…………6分

(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(4,4)，共16个．

落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，

所以点P落在区域内的概率为.…………12分

19．解：(1)∵f′(x)＝2ax＋. 又f(x)在x＝1处有极值.

∴即解得a＝，b＝－1. ………5分

(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，

且f′(x)＝x－＝.由f′(x)<0，得00，得x>1.

所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．……12分

20．解: (1)设椭圆的半焦距为c
.由题意可知，△AF1F2为等边三角形，

所以b＝c，b2＝3c2，a2＝4c2，a＝2c，所以e＝.……4分[来源:学科网ZXXK]

(2)因为a2＝4c2，b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－(x－c)．……6分

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B.……8分

所以|AB|＝·＝c.由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB

＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.…………12分

21．解： (1)g′(x)＝3x2＋2ax－1.由题意3x2＋2ax－1<0的解集是，

即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1.将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0

得a＝－1.所以g(x)＝x3－x2－x＋2. ………3分

(2
)由(1)知g′(x)＝3x2－2x－1，所以g′(－1)＝4，

所以点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，所以函数y＝g(x)的图象在

点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，即4x－y＋5＝0. ………7分

(3)因为(0，＋∞)?P，所以2f(x)≤g′(x)＋2，即2xln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥ln x－x－对x∈(0，＋∞)上恒成立．

设h(x)＝ln x－－，则h′(x)＝－＋＝－.

令h(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍)．

当00；当x>1时，h′(x)<0.

所以当x＝1时，h(x)取得极大值也是最大值，

h(x)max＝－2，所以a≥－2.

所以a的取值范围是[－2，＋∞). …………12分