2013—2014学年度第一学期期末高二级联考试题

理科数学

第I卷 选择题（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．抛物线x2=y的焦点坐标是

A．
B．
C．
D．

2．不等式(x-1)(2-x)>0的解集是

A．（-∞，1） B．（2，+∞） C．（-∞，1）(（2，+∞） D．（1，2）

3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（ ）

A．充要条件 B．必要而不充分条件

C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在空间中，有下列命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两个

平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。

其中正确的命题个数有

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知等差数列：5，
…的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为

A．7 B．8 C．7或8 D．8或9

6．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为
；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
对称.则下列判断正确的是

A．p为真 B．?q为假 C．p(q为真 D．p(q为假

7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正

方形，若∠A1AB=∠A1AD=60o，且A1A=3，则A1C的长为

A．
B．
C．
D．

8．在R上定义运算：对x,y(R,有x(y=2x+y，如果a(3b=1(ab>0)，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题(共110分)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷相应横线上）

9．命题p:“(x(R，使
”的否定?p是 。

10．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 .

11．某算法流程图如右图，输入x=1，得结果是________．

12．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是________。

13．已知
，且
，则
.

14．关于双曲线
，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线

的离心率是
；③焦点坐标为（(5，0）；④渐近线方程是
，⑤焦点到渐近线的距离

等于3。正确的说法是 ，（把所有正确的说法序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.

（1）在△ABC中，A=60o，B=75o，c=20，求边a的长；

（2）若△ABC的面积
，求∠C的度数.

16．（本小题满分12分）

如图，在长方体AC1中，AB=BC=2，
，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．

（1）求证：BE//平面D1AC；

（2）求证：AF⊥BE；

（3）求异面直线AF与BD所成角的余弦值。

17．（本小题满分14分）

某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.

用煤（吨）

用电（千瓦）

产值（万元）



甲产品

7

20

8



乙产品

3

50

12





但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂

如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少?

18．（本小题满分14分）

设数列{an}前n项和为Sn，点
均在直线
上.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设
，Tn是数列{bn}的前n项和，试求Tn;

（3）设cn=anbn,Rn是数列{cn}的前n项和，试求Rn.

19．（本小题满分14分）

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，
.

(1)求f(-1)的值；

(2)求函数f(x)的值域A；

(3)设函数
的定义域为集合B，若A(B，求实数a的取值范围.

20. （本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为
，且过点M
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点
的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C

上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。

2013-2014学年度第一学期期末高二级联考答案及说明

理科数学

一、选择题（满分40分，每小题5分）

1．C（由x2=y知焦点在y轴正半轴上且2p=1,故焦点坐标为
。

2．D（由(x-1)(2-x)>0得(x-1)(x-2)<0,故不等式的解集为(1,2)）.

3．A（因为直线x+y=0的斜率为-1，直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直的充要条件是直线x-ay=0

的斜率为1，故a≠0,从而直线x-ay=0的斜率为
，所以
，即a=1).

4．B（根据空间元素的位置可知①④正确）。

5．C（依题意首项a1=5,公差
，从而等差数列的通项公式为
，显然

a8=0,a9<0,故S7=S8且达到最大）。

6．D（函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p假；因为
，所以函数y=cosx的图象不关于直线
对称。故命题q假。故p(q为假）

7．A（因为
，

所以
，

即
，

故
。

8．B（依题意问题转化为已知2a+3b=1ab>0)，求
的最小值。

因为ab>0且
，

当且仅当
时“=”成立）

二、填空题（满分30分，每小题5分）

9．(x(R,使
。

10．8（依题意a3=12,a4=18,且a32=a2a4,即
）。

11．
（由流程图可，当x=1>0时，
）。

12．若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0.

13．
(因为
，所以-8+2+3x=0解得x=2,从而
，所以
，

故
）。

14.②④⑤（双曲线方程化为
，则有a=4,b=3,从而c=5,所以实轴长为8，离心率

为
，焦点为(0,(5),渐近线方程为
，故①③不正确，②④正确，由点

到直线的距离公式可知⑤正确）。

三、解答题

15.（满分12分）

【解】（1）依题意C=180(-60o-75o=45o, ……………… （2分）

由正弦定理得
， …………… （3分）

即
…………… （6分）

（2）由S=
，得
absinC=
. ………………（9分）

∴ tanC=1，得C=
. ………………（12分）

16.（满分12分）

【证明】（1）（方法一）连接AC和BD交于点O，连接OD1，由长方体知BO//ED1且OB=FD1，

所以四边形BED1O为平行四边形，所以BE//OD1，又OD1(平面ACD1，BE(平

面ACD1，故BE//平面ACD1。 ……（4分）

（方法二）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),

,
.
,

,
,

从而
，故故BE//平面ACD1。……（4分）

（2）由（1）的方法二可知A(2,0,0),B(2,2,0)，
,

∴
， ……（6分）

∴
. ……（7分）

所以AF⊥BE . ……（8分）

（3）由（1）、（2）知，
，设异面直线AF与BD所成

的角为(，则
，

故异面直线AF与DB所成角的余弦值为
……（12分）

17.（满分14分）

【解】设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值z=8x+12y，…（1分）

线性约束条件为
. …………（4分）

作出可行域. …………（7分）

把z=8x+12y变形为一组平行直线系
，………（8分）

由图可知，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z取最大值.…（10分）

解方程组
，得交点M(5,7)， …………（11分）

Zmax=8×5+12×7=124. ……………（13分）

所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产

值为124万元. ………………（14分）

18.（满分14分）

【解】（1）依题意得，
即
. ……………（1分）

当n=1时，
. ……………（2分）

当n≥2时，
; （4分）

所以
. …………（5分）

（2）由（1）得
， ……………（6分）

由b1=32*1=9， ……………（7分）

由
，可知{bn}为首项为9，公比为9的等比数列. （8分）

故
. …………（9分）

（3）由(1)、（2）得
…………（10分）

…………（11分）

…………（12分）

…………（13分）

…………（14分）

19.（满分14分）

【解】(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，(f(-1)=f(1) ...........1分

又 x≥0时，
，
...........2分

...........3分

(2)由函数f(x)是定义在R 上的偶函数，可得函数f(x)的值域A即为x≥0时，f(x)的取值范围. ..........5分

当x≥0时，
...........7分

故函数f(x)的值域A=(0,1] ...........8分

(3)

定义域B={x|-x2+(a-1)x+a≥0} ...........9分

（方法一）由-x2+(a-1)x+a≥0得x2-(a-1)x-a≤0，

即 (x-a)(x+1)≤0 ...........12分

因为A(B，(B=[-1,a],且a≥1 ...........13分

实数a的取值范围是{a|a≥1} ...........14分

（方法二）设h(x)=x2-(a-1)x-a

A(B当且仅当
...........12分

即
...........13分

实数a的取值范围是{a|a≥1} ...........14分

20．（满分14分）

【解】（1）（方法一）依题意，设椭圆方程为
， …1分

则
，
………………………………………………2分

因为椭圆两个焦点为
，所以

=4 ……4分

………………………………………………5分

椭圆C的方程为
………………………………………6分

（方法二）依题意，设椭圆方程为
， …………1分

则
，即
，解之得
………5分

椭圆C的方程为
…………………………………………6分

（2）（方法一）设A、B两点的坐标分别为
，

则
………………………………………………7分

………………①
…………②

①-②，得
,

…………………9分

设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为