第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相
应位置上）

1. 命题“

，
”的否定是

A．

，
B．

，

C．

，
D．

，

2．抛物线
的焦点坐标是

A．

B．
C
．
D．

3. 如图，四面体
中，设
是
的中点，则

化简的结果是

A．
B．

C．
D．

4. 有下列四个命题：

①“若
, 则
互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
,则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题
；

其中真命题为

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

5. 设集合
，集合
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线的渐近线为
，且双曲线的焦点与椭圆
的焦点相同，则双曲线方程为

A．
B．

C．
D．

7. 直线l
: x－2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B, 则该椭圆的离心率为

A.
B.
C.

D.

8. 已知平面
过点
，
，
，则原点
到平面
的距离为

A．3 B．6 C．
D．

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

9. 顺次连接椭圆
的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。

10. 向量
=(1，2，-2)，
=（-2，
，
），且
//
，则
= 。

11.已知抛物线
过其
焦点
的直线交抛物线于
两点,过
中点
作
轴垂线交
轴于点
,若
,则
= _______.[来源:Zxxk.Com]

三、解答题（本大题共有3个小题，共45分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

13.（本
小题满分15分）

已知
，设命题
：方程
表示的图象是双曲线；命题
：关于
的不等式
有解。若命题“
”与“
”都为真命题，求
的取值范围．

14. （本小题满分15分）

如图，在几何体
中，
平面
，
，
是等腰直角三角形，
，且
，点
是
的中点．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．

15. （本小题满分15分）已知点
在抛物线
：
上，过焦点
且斜率为

的直线交抛物线
于
、
两点，

第Ⅱ卷

一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

16. 若向量
、
的坐标满足
，
，则
·
等于

A．
B．
C．
D．

17.已知
=3 , A,B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，
,则动点P的轨迹方程是

A．
B．
C．
D．

18.过点M(-2,0)作斜率为
(
≠0)的直线与双曲线
交于A、B两点，线
段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为
，则
等于

A.

B.3 C. -

D. -3

二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

19.已知正四面体
的棱长为1，
为底面
的中心，则
=________.

20. 已知双曲线
的左焦点为
，点
为双曲线右支上一点，且
与圆
相切于点
，
为线段
的中点，
为坐标原点，则
=_________.

三、解答题（本大题共有2个小题，共25分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

21. （本小题满分12分）

如图在四棱锥
中,
丄平面
,
丄
,
丄
,
,
,
.建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：

(Ⅰ)证明
;

(Ⅱ)求二面角
的余弦值;

(Ⅲ)设
为棱
上的点,满足异面直线
与
所成的角为
,求
的长.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

22.（本小题满分13分）

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
的离心率为
，焦距为
，点A，B分别是椭圆
的右顶点和上顶点，点D是线段AB上的一动点，点C是椭圆
上不与A，B重合的一动点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程和△CAB的面积的最大值；

（Ⅱ）若满足：
（
）， 求
的取值范围．

福州八中2013—2014学年第一学期期末考试

高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准

第I卷

∵
与
都为真命题

∴
假且
真，可得：

…………14分

∴
实数m的取值范围为
…………15分

14．解：依题得，以点
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立如图的空间直角坐标系，………………1分

则
，
，
，
，
，
，

所以
，
．………………2分

（Ⅰ）易知平面
的一个法向量为

又

又因为
平面
，

所以
平面
． …………………8分

（Ⅱ）设平面
的一个法向量为
，

则
即
，

取
，得，
． ……10分

又设
与平面
所成的角为
，
，

则
， [来源:学&科&网]

故
与平面
所成角的正弦值为
．…………………………………15分

15．解：（Ⅰ）由已知得，

所以抛物线
的标准方程为
。……………………6分

第II卷

一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

BBB

二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

-1

三、解答题（本大题共有2个小题，共25分）

21．解：（1）以
为
正半轴方向，建立空间直角左边系

……4分

得：二面角
的余弦值
。……8分

（3）设
；则
，
，

[来源:学科网ZXXK]

即
。 ……12分

设直线l与直线AB平行与椭圆相切于x轴下方的P点，显然当C点与P点重合时，

△CAB的面积取到最大值．

可设直线AB的方程为
，

由
消去
得
． ……5分

令△=
，

解得
或
（舍去）． ……6分

所以直线l方程为
，

点C到直线AB的距离d等于直线l与直线AB的距离，

即d=
，

所以△CAB的面积的最大值

． ……7分

（Ⅱ）设
，

因为
，所以
，则
……8分