2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试

数学试题（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、以下有关命题的说法错误的是 （ ）

A、命题“若
，则
”的逆否命题为“若
,则
”

B、若
为假命题，则、均为假命题

C、“
”是“
”的充分不必要条件

D、对于命题
，使得
，则
，则

3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （ ）

A、9 B、18 C、27 D、36

4、已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是（ ）

A、1 B、
C、
D、

5、在平行六面体
中，设
，则
等于（　　）

A、 B、
C、
D、

6、若双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 (　　)

A、 B、5 C、 D、2

7、对任意非零实数
，定义
的算法原理如上右侧

程序框图所示。设为函数
的最大值，

为双曲线
的离心率，则计算机执行该运算后输

出结果是 ( )

A、
B、
C、
D、

8、已知曲线C：y＝2
，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是 (　　)

A、(4，＋∞) B、(－∞，4] C、(10，＋∞) D、(－∞，10]

9、已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，

且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 (　　)

A、 B、＋1 C、＋1 D、

10、棱长均为1三棱锥
，若空间一点P满足

，则
的最小值为 （　　）

A、 B、
C、
D、

11、已知椭圆
的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（ 　）

A、
B、
C、
D、

12、如图，过双曲线
的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则
（　　）

A、 B、
C、
D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、在随机数模拟试验中，若
（ ）,
（ ）

（）表示生成0到1之间的随机数
,共做了次试验，其中有次满足

，则椭圆
的面积可估计为 。

（）表示生成0到1之间的随机数

14、与双曲线
有共同渐近线，且过点
的双曲线方程是 。

15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|﹣|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

，则动点P的轨迹为椭圆；

③抛物线

的焦点坐标是
；

④曲线
与曲线
（＜35且≠10）有相同的焦点．

其中真命题的序号为　 。

16、点
在函数
的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为　　　　 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（10分）已知
，设命题p:函数
在R上单调递增；命题q:不等式
对
恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。

18、（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，

侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，

并求出N点到AB和AP的距离。

19、（12分） 如图，四棱锥
中，底面
为梯形，

，
∥
，
，

底面
，
为
的中点．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值。

20、（12分）在△
中，、
、分别是角、、
的对边，且
。

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若
，
，求△
的面积。

21、（12分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．

(Ⅰ)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；

(Ⅱ)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

22、（12分）已知椭圆
的焦距为4,且过点
.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设
为椭圆
上一点,过点
作轴的垂线,垂足为.取点
,连接
,过点作
的垂线交轴于点.点
是点关于轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。

2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试

数学试题（理科答案）

一．选择题：

1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A．

二．填空题：

13．
； 14．
； 15． ③④； 16．
.

三、解答题：

17、解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；……………6分②若p假，q真，则0＜a≤1．……………8分所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．……………10分

18、解：方法一、（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. ………2分

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC与PB所成角的余弦值为
. ………6分

（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则
.

连PF，则在Rt△ADF中

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离
，N点到AP的距离
………12分

方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、

B（
，0，0）、C（
，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，
，1）， ………3分

从而

设
的夹角为θ，则

∴AC与PB所成角的余弦值为
. ………6分

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
，由NE⊥面PAC可得，

∴
………10分

即N点的坐标为
，从而N点到AB、AP的距离分别为1，
.…12分

19、解： （Ⅰ）由余弦定理得
，∴
，

∴
，

∴
．∵
底面
，
底面
，∴
．又∵
，∴
平面
，

又
平面
，∴
． 6分

（Ⅱ）已知

，
，由（Ⅰ）可知
平面
，

如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系
，

则



,

，
，
，
. 8分

设平面
的法向量为
，则
，

∴
，令
，∴可取
． 9分

同理设平面
的法向量为
，则
，

∴
． 10分

∴

∴二面角
的余弦值大小为
． 12分

20、解：（1）

∴由正弦定理：

∴
……………………………………………………3分

又∵

∴

∴
………………………………………………………6分

（2）∵
………………………………………………8分

∴

∴

∴
………………………12分

21、解: (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝x＋b

可得b＝－，………………………………………………1分

∴l：y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去y得x2－18x＋1＝0，

∴x1＋x2＝18，x1x2＝1，

(方法一)|AB|＝·|x1－x2|

＝·＝20. ………………………………………………4分

(方法二)|AB|＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20. ………………………………4分

(2)假设存在满足要求的直线l：y＝x＋b，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去x得y2－8y＋8b＝0，

∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b， …………………………6分

设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1、k2，则α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°?＝－1， ……………………8分

其中k1＝＝，k2＝＝，代入上式整理得

y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0， ……………………………………10分

∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………………………………11分

代入Δ＝64－32b＝128>0，满足要求．

综上，存在直线l：y＝x－2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135°.…12分

22、解: (1)因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是
…（4分）

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示, …（6分）

则
的直线方程:

化简得
…（8分）

又
,

所以
带入

得
…（11分）

求得最后

所以直线
与椭圆只有一个公共点. …（12分）