2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试

数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、以下有关命题的说法错误的是 （ ）

A、命题“若
，则
”的逆否命题为“若
,则
”

B、若
为假命题，则、均为假命题

C、“
”是“
”的充分不必要条件

D、对于命题
，使得
，则
，则

3、某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：

零件数x（个）

10

20

30



加工时间y（分钟）

21

30

39



现已求得上表数据的回归方程
中的
值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 （　　）

A、84分钟 B、94分钟 C、 102分钟 D、112分钟

4、已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于 (　　)

A、－1　　 B、0　　　　 C、1　　　　 D、2

5、观察
，
，
，由归纳推理可得：若定义在R上的函数
满足
，记
为
的导函数，则
＝ (　　)

A、
B、－
C、
D、－

6、若双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 (　　)

A、 B、5 C、 D、2

7、对任意非零实数
，定义
的算法原理如上右侧

程序框图所示。设为函数
的最大值，

为双曲线
的离心率，则计算机执行该运算后

输出结果是 ( )

A、
B、
C、
D、

8、已知曲线C：y＝2
，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是 (　　)

A、(4，＋∞) B、(－∞，4] C、(10，＋∞) D、(－∞，10]

9、已知函数
的图像在点A(1，f(1))处的切线l与
直线
平行，若数列
的前项和为
，则
的值为 （　　）

A、
B、
C、
D、

10、已知可导函数
，则当
时，
大小关系为 （ ）

A、
B、
C、
D、

11、已知椭圆
的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程 （　 ）

A、
B、
C、
D、

12、如图，过双曲线
的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则
（　　）

A、 B、
C、
D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、与双曲线
有共同渐近线，且过点
的双曲线方程是 。

14、在随机数模拟试验中，若
（ ）,
（ ）,共做了次试验，其中有次满足

，则椭圆
的面积可估计为 。

（）表示生成0到1之间的随机数

15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|﹣|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
，则动点P的轨迹为椭圆；

③抛物线

的焦点坐标是
；

④曲线
与曲线
（＜35且≠10）有相同的焦点．

其中真命题的序号为　 。

16、若
，且
，则的取值范围是　_________　。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（10分）已知
，设命题p:函数
在R上单调递增；命题q:不等式
对
恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。

18、（12分）已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b (a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值。

19、（12分）数列
的前项和为
，
，

，等差数列
满足
.

（1）分别求数列
，
的通项公式；

（2）设
，求证
。

20、（12分）定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：

①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②
是偶函数；

③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝
，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)<
，求实数m的取值范围。

21、（12分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；

(2)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

22、（12分）已知椭圆
的焦距为4,且过点
.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设
为椭圆
上一点,过点
作轴的垂线,垂足为.取点
,连接
,过点作
的垂线交轴于点.点
是点关于轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。

2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试

数学试题（文科答案）

一．选择题：

1.C；2.B；3.C；4.A；5.D；6.A；7.B；8.D；9.D；10.B；11.C；12.A．

二．填空题：

13．
； 14．
； 15． ③④； 16．
.

三、解答题：

17、解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；……………6分②若p假，q真，则0＜a≤1．……………8分所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．……………10分

18、解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，

∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，

∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b，

又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，

解得a＝1，b＝.……………………………………………6分

(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x，

由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有

x

(－∞，0)

0

(0,2)

2

(2，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

��

极大值

��

极小值

��



所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．……………………………………………9分

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，

∴在区间[－2,4]上的最大值为8. ……………………………………………12分

19、解：解：（1）由
----① 得
----②，

①②得
，
…………………………………………2分

； ………………………………………………………………………………3分

…………………………………………………………………4分

…………………………………………………………………………6分

（2）因为
………………………-………………………8分

所以
………………………………………………………9分

所以
………………………………………………………10分

………………………………………………………11分

所以
……………………………………………12分

20、解：（(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分

由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x …………………………6分

设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………8分

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ……………10分

∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e 3……………12分

于是有m>2e－e3为所求．

21、解: (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝x＋b

可得b＝－，………………………………………………1分

∴l：y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立
，消去y得x2－18x＋1＝0，

∴x1＋x2＝18，x1x2＝1，

(方法一)|AB|＝·|x1－x2|

＝·＝20. ………………………………………………4分

(方法二)|AB|＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20. ………………………………………………4分

(2)假设存在满足要求的直线l：y＝x＋b，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立
，消去x得y2－8y＋8b＝0，

∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b， ………………………………………………6分

设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1、k2，则α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°，＝－1， ………………………………………………8分

其中k1＝＝，k2＝＝，代入上式整理得

y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0， ………………………………………………10分

∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………………………………………11分

代入Δ＝64－32b＝128>0，满足要求．

综上，存在直线l：y＝x－2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135°.………12分

22、解: (1)因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是
…（4分）

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示, …（6分）

则
的直线方程:

化简得
…（8分）

又
,

所以
带入

得
…（11分）

求得最后

所以直线
与椭圆只有一个公共点. …（12分）